Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48927 / 51111
↖ ↑ ↗
← S 70.449670°
E 88.764038°		 ← 204.41 m → S 70.449670°
E 88.769531°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
S 70.451509°
E 88.764038°		 ← 204.39 m →
41 789 m²		 S 70.451509°
E 88.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746574401855469 y=0.779899597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746574401855469 × 216)
    floor (0.746574401855469 × 65536)
    floor (48927.5)     		tx = 48927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779899597167969 × 216)
    floor (0.779899597167969 × 65536)
    floor (51111.5)     		ty = 51111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48927 / 51111 ti = "16/48927/51111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48927/51111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48927 ÷ 216
    48927 ÷ 65536     		x = 0.746566772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51111 ÷ 216
    51111 ÷ 65536     		y = 0.779891967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746566772460938 × 2 - 1) × π
    0.493133544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54922472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779891967773438 × 2 - 1) × π
    -0.559783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75861309946138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54922472} λ = 1.54922472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75861309946138))-π/2
    2×atan(0.172283638477428)-π/2
    2×0.170608811445982-π/2
    0.341217622891965-1.57079632675     		φ = -1.22957870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54922472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.764038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22957870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.449670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48927 KachelY 51111 1.54922472 -1.22957870 88.764038 -70.449670
    Oben rechts KachelX + 1 48928 KachelY 51111 1.54932060 -1.22957870 88.769531 -70.449670
    Unten links KachelX 48927 KachelY + 1 51112 1.54922472 -1.22961079 88.764038 -70.451509
    Unten rechts KachelX + 1 48928 KachelY + 1 51112 1.54932060 -1.22961079 88.769531 -70.451509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22957870--1.22961079) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dl = 204.445389999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22957870--1.22961079) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dr = 204.445389999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54922472-1.54932060) × cos(-1.22957870) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334634767982467 × 6371000     		do = 204.412143281412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54922472-1.54932060) × cos(-1.22961079) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334604527865937 × 6371000     		du = 204.393671061475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22957870)-sin(-1.22961079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334634767982467-0.334604527865937)×R²
    abs(1.54932060-1.54922472)×3.02401165302446e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02401165302446e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02401165302446e-05×40589641000000     		ar = 41789.2320773199m²