Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48926 / 50785
S 69.841515°
E 88.758545°
← 210.49 m → S 69.841515°
E 88.764038°

210.50 m

210.50 m
S 69.843408°
E 88.758545°
← 210.47 m →
44 305 m²
S 69.843408°
E 88.764038°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746559143066406 y=0.774925231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746559143066406 × 216)
    floor (0.746559143066406 × 65536)
    floor (48926.5)
    tx = 48926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774925231933594 × 216)
    floor (0.774925231933594 × 65536)
    floor (50785.5)
    ty = 50785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48926 / 50785 ti = "16/48926/50785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48926/50785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48926 ÷ 216
    48926 ÷ 65536
    x = 0.746551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50785 ÷ 216
    50785 ÷ 65536
    y = 0.774917602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.746551513671875 × 2 - 1) × π
    0.49310302734375 × 3.1415926535
    Λ = 1.54912885
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.774917602539062 × 2 - 1) × π
    -0.549835205078125 × 3.1415926535
    Φ = -1.7273582409091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54912885} λ = 1.54912885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7273582409091))-π/2
    2×atan(0.177753371840997)-π/2
    2×0.175915967132836-π/2
    0.351831934265671-1.57079632675
    φ = -1.21896439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54912885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.758545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21896439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.841515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48926 KachelY 50785 1.54912885 -1.21896439 88.758545 -69.841515
    Oben rechts KachelX + 1 48927 KachelY 50785 1.54922472 -1.21896439 88.764038 -69.841515
    Unten links KachelX 48926 KachelY + 1 50786 1.54912885 -1.21899743 88.758545 -69.843408
    Unten rechts KachelX + 1 48927 KachelY + 1 50786 1.54922472 -1.21899743 88.764038 -69.843408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.21896439--1.21899743) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000
    dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.21896439--1.21899743) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000
    dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.54912885-1.54922472) × cos(-1.21896439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344618102548639 × 6371000
    do = 210.48852235731m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.54912885-1.54922472) × cos(-1.21899743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344587086292822 × 6371000
    du = 210.469578007586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.21896439)-sin(-1.21899743))×
    abs(λ12)×abs(0.344618102548639-0.344587086292822)×
    abs(1.54922472-1.54912885)×3.1016255817029e-05×
    9.58699999999979e-05×3.1016255817029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1016255817029e-05×40589641000000
    ar = 44305.3854326932m²