Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48925 / 51203
↖ ↑ ↗
← S 70.618084°
E 88.753052°		 ← 202.72 m → S 70.618084°
E 88.758545°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 70.619907°
E 88.753052°		 ← 202.70 m →
41 082 m²		 S 70.619907°
E 88.758545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746543884277344 y=0.781303405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746543884277344 × 216)
    floor (0.746543884277344 × 65536)
    floor (48925.5)     		tx = 48925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781303405761719 × 216)
    floor (0.781303405761719 × 65536)
    floor (51203.5)     		ty = 51203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48925 / 51203 ti = "16/48925/51203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48925/51203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48925 ÷ 216
    48925 ÷ 65536     		x = 0.746536254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51203 ÷ 216
    51203 ÷ 65536     		y = 0.781295776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746536254882812 × 2 - 1) × π
    0.493072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54903297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.562591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76743348899147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54903297} λ = 1.54903297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76743348899147))-π/2
    2×atan(0.170770711786472)-π/2
    2×0.169139125474655-π/2
    0.33827825094931-1.57079632675     		φ = -1.23251808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54903297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.753052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23251808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.618084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48925 KachelY 51203 1.54903297 -1.23251808 88.753052 -70.618084
    Oben rechts KachelX + 1 48926 KachelY 51203 1.54912885 -1.23251808 88.758545 -70.618084
    Unten links KachelX 48925 KachelY + 1 51204 1.54903297 -1.23254989 88.753052 -70.619907
    Unten rechts KachelX + 1 48926 KachelY + 1 51204 1.54912885 -1.23254989 88.758545 -70.619907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23251808--1.23254989) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23251808--1.23254989) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54903297-1.54912885) × cos(-1.23251808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331863407775657 × 6371000     		do = 202.719253797471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54903297-1.54912885) × cos(-1.23254989) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331833400361564 × 6371000     		du = 202.700923724161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23251808)-sin(-1.23254989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331863407775657-0.331833400361564)×R²
    abs(1.54912885-1.54903297)×3.00074140929252e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00074140929252e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00074140929252e-05×40589641000000     		ar = 41081.5326841925m²