Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48924 / 81436
↖ ↑ ↗
← S 39.968701°
W 45.626221°		 ← 234.08 m → S 39.968701°
W 45.623474°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 39.970805°
W 45.626221°		 ← 234.07 m →
54 775 m²		 S 39.970805°
W 45.623474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373264312744141 y=0.621311187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373264312744141 × 217)
    floor (0.373264312744141 × 131072)
    floor (48924.5)     		tx = 48924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621311187744141 × 217)
    floor (0.621311187744141 × 131072)
    floor (81436.5)     		ty = 81436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48924 / 81436 ti = "17/48924/81436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48924/81436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48924 ÷ 217
    48924 ÷ 131072     		x = 0.373260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81436 ÷ 217
    81436 ÷ 131072     		y = 0.621307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.25347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79632778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.24261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.762196703958893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79632778} λ = -0.79632778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762196703958893))-π/2
    2×atan(0.46664022985659)-π/2
    2×0.436605450534241-π/2
    0.873210901068482-1.57079632675     		φ = -0.69758543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79632778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.626221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69758543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.968701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48924 KachelY 81436 -0.79632778 -0.69758543 -45.626221 -39.968701
    Oben rechts KachelX + 1 48925 KachelY 81436 -0.79627984 -0.69758543 -45.623474 -39.968701
    Unten links KachelX 48924 KachelY + 1 81437 -0.79632778 -0.69762216 -45.626221 -39.970805
    Unten rechts KachelX + 1 48925 KachelY + 1 81437 -0.79627984 -0.69762216 -45.623474 -39.970805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69758543--0.69762216) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69758543--0.69762216) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79632778--0.79627984) × cos(-0.69758543) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766395464903488 × 6371000     		do = 234.07690200118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79632778--0.79627984) × cos(-0.69762216) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766371870171461 × 6371000     		du = 234.069695562691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69758543)-sin(-0.69762216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766395464903488-0.766371870171461)×R²
    abs(-0.79627984--0.79632778)×2.35947320269547e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35947320269547e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35947320269547e-05×40589641000000     		ar = 54774.7506417506m²