Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48923 / 81362
↖ ↑ ↗
← S 39.812756°
W 45.628967°		 ← 234.56 m → S 39.812756°
W 45.626221°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
S 39.814865°
W 45.628967°		 ← 234.55 m →
55 023 m²		 S 39.814865°
W 45.626221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373256683349609 y=0.620746612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373256683349609 × 217)
    floor (0.373256683349609 × 131072)
    floor (48923.5)     		tx = 48923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620746612548828 × 217)
    floor (0.620746612548828 × 131072)
    floor (81362.5)     		ty = 81362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48923 / 81362 ti = "17/48923/81362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48923/81362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48923 ÷ 217
    48923 ÷ 131072     		x = 0.373252868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81362 ÷ 217
    81362 ÷ 131072     		y = 0.620742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373252868652344 × 2 - 1) × π
    -0.253494262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.79637571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620742797851562 × 2 - 1) × π
    -0.241485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.758649373387009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79637571} λ = -0.79637571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758649373387009))-π/2
    2×atan(0.468298496481071)-π/2
    2×0.437966327816667-π/2
    0.875932655633335-1.57079632675     		φ = -0.69486367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79637571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.628967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69486367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.812756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48923 KachelY 81362 -0.79637571 -0.69486367 -45.628967 -39.812756
    Oben rechts KachelX + 1 48924 KachelY 81362 -0.79632778 -0.69486367 -45.626221 -39.812756
    Unten links KachelX 48923 KachelY + 1 81363 -0.79637571 -0.69490049 -45.628967 -39.814865
    Unten rechts KachelX + 1 48924 KachelY + 1 81363 -0.79632778 -0.69490049 -45.626221 -39.814865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69486367--0.69490049) × R
    3.68199999999375e-05 × 6371000     		dl = 234.580219999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69486367--0.69490049) × R
    3.68199999999375e-05 × 6371000     		dr = 234.580219999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79637571--0.79632778) × cos(-0.69486367) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.768140998401297 × 6371000     		do = 234.561094597647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79637571--0.79632778) × cos(-0.69490049) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.768117422744325 × 6371000     		du = 234.553895487176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69486367)-sin(-0.69490049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768140998401297-0.768117422744325)×R²
    abs(-0.79632778--0.79637571)×2.35756569716417e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35756569716417e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35756569716417e-05×40589641000000     		ar = 55022.5487957332m²