Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48922 / 51226
↖ ↑ ↗
← S 70.659969°
E 88.736572°		 ← 202.30 m → S 70.659969°
E 88.742066°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
S 70.661788°
E 88.736572°		 ← 202.28 m →
40 919 m²		 S 70.661788°
E 88.742066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746498107910156 y=0.781654357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746498107910156 × 216)
    floor (0.746498107910156 × 65536)
    floor (48922.5)     		tx = 48922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781654357910156 × 216)
    floor (0.781654357910156 × 65536)
    floor (51226.5)     		ty = 51226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48922 / 51226 ti = "16/48922/51226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48922/51226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48922 ÷ 216
    48922 ÷ 65536     		x = 0.746490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51226 ÷ 216
    51226 ÷ 65536     		y = 0.781646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746490478515625 × 2 - 1) × π
    0.49298095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54874535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.56329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76963858637399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54874535} λ = 1.54874535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76963858637399))-π/2
    2×atan(0.170394560614301)-π/2
    2×0.168773610228228-π/2
    0.337547220456457-1.57079632675     		φ = -1.23324911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54874535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23324911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.659969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48922 KachelY 51226 1.54874535 -1.23324911 88.736572 -70.659969
    Oben rechts KachelX + 1 48923 KachelY 51226 1.54884123 -1.23324911 88.742066 -70.659969
    Unten links KachelX 48922 KachelY + 1 51227 1.54874535 -1.23328086 88.736572 -70.661788
    Unten rechts KachelX + 1 48923 KachelY + 1 51227 1.54884123 -1.23328086 88.742066 -70.661788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23324911--1.23328086) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23324911--1.23328086) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54874535-1.54884123) × cos(-1.23324911) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.331173718496345 × 6371000     		do = 202.297956080931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54874535-1.54884123) × cos(-1.23328086) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.331143759988266 × 6371000     		du = 202.279655881933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23324911)-sin(-1.23328086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331173718496345-0.331143759988266)×R²
    abs(1.54884123-1.54874535)×2.99585080787423e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.99585080787423e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.99585080787423e-05×40589641000000     		ar = 40918.8279605989m²