Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48922 / 51195
↖ ↑ ↗
← S 70.603495°
E 88.736572°		 ← 202.87 m → S 70.603495°
E 88.742066°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 70.605319°
E 88.736572°		 ← 202.85 m →
41 150 m²		 S 70.605319°
E 88.742066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746498107910156 y=0.781181335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746498107910156 × 216)
    floor (0.746498107910156 × 65536)
    floor (48922.5)     		tx = 48922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781181335449219 × 216)
    floor (0.781181335449219 × 65536)
    floor (51195.5)     		ty = 51195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48922 / 51195 ti = "16/48922/51195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48922/51195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48922 ÷ 216
    48922 ÷ 65536     		x = 0.746490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51195 ÷ 216
    51195 ÷ 65536     		y = 0.781173706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746490478515625 × 2 - 1) × π
    0.49298095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54874535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781173706054688 × 2 - 1) × π
    -0.562347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76666649859755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54874535} λ = 1.54874535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76666649859755))-π/2
    2×atan(0.170901741524827)-π/2
    2×0.169266439549494-π/2
    0.338532879098989-1.57079632675     		φ = -1.23226345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54874535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23226345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.603495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48922 KachelY 51195 1.54874535 -1.23226345 88.736572 -70.603495
    Oben rechts KachelX + 1 48923 KachelY 51195 1.54884123 -1.23226345 88.742066 -70.603495
    Unten links KachelX 48922 KachelY + 1 51196 1.54874535 -1.23229529 88.736572 -70.605319
    Unten rechts KachelX + 1 48923 KachelY + 1 51196 1.54884123 -1.23229529 88.742066 -70.605319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23226345--1.23229529) × R
    3.18399999998942e-05 × 6371000     		dl = 202.852639999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23226345--1.23229529) × R
    3.18399999998942e-05 × 6371000     		dr = 202.852639999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54874535-1.54884123) × cos(-1.23226345) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.332103596483323 × 6371000     		do = 202.865973425497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54874535-1.54884123) × cos(-1.23229529) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.332073563460497 × 6371000     		du = 202.847627709055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23226345)-sin(-1.23229529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332103596483323-0.332073563460497)×R²
    abs(1.54884123-1.54874535)×3.00330228253931e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.00330228253931e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.00330228253931e-05×40589641000000     		ar = 41150.0375403151m²