Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48921 / 51190
↖ ↑ ↗
← S 70.594371°
E 88.731079°		 ← 202.94 m → S 70.594371°
E 88.736572°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 70.596196°
E 88.731079°		 ← 202.92 m →
41 177 m²		 S 70.596196°
E 88.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746482849121094 y=0.781105041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746482849121094 × 216)
    floor (0.746482849121094 × 65536)
    floor (48921.5)     		tx = 48921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781105041503906 × 216)
    floor (0.781105041503906 × 65536)
    floor (51190.5)     		ty = 51190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48921 / 51190 ti = "16/48921/51190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48921/51190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48921 ÷ 216
    48921 ÷ 65536     		x = 0.746475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51190 ÷ 216
    51190 ÷ 65536     		y = 0.781097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746475219726562 × 2 - 1) × π
    0.492950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54864948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.56219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76618712960135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54864948} λ = 1.54864948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76618712960135))-π/2
    2×atan(0.170983686160401)-π/2
    2×0.169346057632275-π/2
    0.33869211526455-1.57079632675     		φ = -1.23210421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54864948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.731079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23210421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.594371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48921 KachelY 51190 1.54864948 -1.23210421 88.731079 -70.594371
    Oben rechts KachelX + 1 48922 KachelY 51190 1.54874535 -1.23210421 88.736572 -70.594371
    Unten links KachelX 48921 KachelY + 1 51191 1.54864948 -1.23213606 88.731079 -70.596196
    Unten rechts KachelX + 1 48922 KachelY + 1 51191 1.54874535 -1.23213606 88.736572 -70.596196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23210421--1.23213606) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23210421--1.23213606) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54864948-1.54874535) × cos(-1.23210421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332253794274215 × 6371000     		do = 202.936554078782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54864948-1.54874535) × cos(-1.23213606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33222375350352 × 6371000     		du = 202.91820554344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23210421)-sin(-1.23213606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332253794274215-0.33222375350352)×R²
    abs(1.54874535-1.54864948)×3.00407706946837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00407706946837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00407706946837e-05×40589641000000     		ar = 41177.2832294939m²