Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48921 / 50536
↖ ↑ ↗
← S 69.364831°
E 88.731079°		 ← 215.25 m → S 69.364831°
E 88.736572°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 69.366767°
E 88.731079°		 ← 215.23 m →
46 336 m²		 S 69.366767°
E 88.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746482849121094 y=0.771125793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746482849121094 × 216)
    floor (0.746482849121094 × 65536)
    floor (48921.5)     		tx = 48921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771125793457031 × 216)
    floor (0.771125793457031 × 65536)
    floor (50536.5)     		ty = 50536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48921 / 50536 ti = "16/48921/50536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48921/50536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48921 ÷ 216
    48921 ÷ 65536     		x = 0.746475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50536 ÷ 216
    50536 ÷ 65536     		y = 0.7711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746475219726562 × 2 - 1) × π
    0.492950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54864948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70348566489832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54864948} λ = 1.54864948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70348566489832))-π/2
    2×atan(0.182047859006716)-π/2
    2×0.180075818320493-π/2
    0.360151636640986-1.57079632675     		φ = -1.21064469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54864948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.731079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21064469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.364831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48921 KachelY 50536 1.54864948 -1.21064469 88.731079 -69.364831
    Oben rechts KachelX + 1 48922 KachelY 50536 1.54874535 -1.21064469 88.736572 -69.364831
    Unten links KachelX 48921 KachelY + 1 50537 1.54864948 -1.21067848 88.731079 -69.366767
    Unten rechts KachelX + 1 48922 KachelY + 1 50537 1.54874535 -1.21067848 88.736572 -69.366767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21064469--1.21067848) × R
    3.37899999998115e-05 × 6371000     		dl = 215.276089998799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21064469--1.21067848) × R
    3.37899999998115e-05 × 6371000     		dr = 215.276089998799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54864948-1.54874535) × cos(-1.21064469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352416145619195 × 6371000     		do = 215.251471694739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54864948-1.54874535) × cos(-1.21067848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35238452326969 × 6371000     		du = 215.232157150403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21064469)-sin(-1.21067848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352416145619195-0.35238452326969)×R²
    abs(1.54874535-1.54864948)×3.16223495050449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16223495050449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16223495050449e-05×40589641000000     		ar = 46336.4162176243m²