Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48916 / 51196
↖ ↑ ↗
← S 70.605319°
E 88.703613°		 ← 202.83 m → S 70.605319°
E 88.709106°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
S 70.607143°
E 88.703613°		 ← 202.81 m →
41 129 m²		 S 70.607143°
E 88.709106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746406555175781 y=0.781196594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746406555175781 × 216)
    floor (0.746406555175781 × 65536)
    floor (48916.5)     		tx = 48916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781196594238281 × 216)
    floor (0.781196594238281 × 65536)
    floor (51196.5)     		ty = 51196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48916 / 51196 ti = "16/48916/51196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48916/51196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48916 ÷ 216
    48916 ÷ 65536     		x = 0.74639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51196 ÷ 216
    51196 ÷ 65536     		y = 0.78118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74639892578125 × 2 - 1) × π
    0.4927978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54817011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.5623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76676237239679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54817011} λ = 1.54817011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76676237239679))-π/2
    2×atan(0.170885357310991)-π/2
    2×0.169250520252445-π/2
    0.33850104050489-1.57079632675     		φ = -1.23229529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54817011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23229529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.605319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48916 KachelY 51196 1.54817011 -1.23229529 88.703613 -70.605319
    Oben rechts KachelX + 1 48917 KachelY 51196 1.54826598 -1.23229529 88.709106 -70.605319
    Unten links KachelX 48916 KachelY + 1 51197 1.54817011 -1.23232712 88.703613 -70.607143
    Unten rechts KachelX + 1 48917 KachelY + 1 51197 1.54826598 -1.23232712 88.709106 -70.607143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23229529--1.23232712) × R
    3.1830000000177e-05 × 6371000     		dl = 202.788930001128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23229529--1.23232712) × R
    3.1830000000177e-05 × 6371000     		dr = 202.788930001128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54817011-1.54826598) × cos(-1.23229529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332073563460497 × 6371000     		do = 202.826471301986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54817011-1.54826598) × cos(-1.23232712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332043539533661 × 6371000     		du = 202.808133054667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23229529)-sin(-1.23232712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332073563460497-0.332043539533661)×R²
    abs(1.54826598-1.54817011)×3.00239268364311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00239268364311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00239268364311e-05×40589641000000     		ar = 41129.1036976823m²