Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48913 / 81232
↖ ↑ ↗
← S 39.537940°
W 45.656433°		 ← 235.50 m → S 39.537940°
W 45.653687°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
S 39.540058°
W 45.656433°		 ← 235.49 m →
55 467 m²		 S 39.540058°
W 45.653687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373180389404297 y=0.619754791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373180389404297 × 217)
    floor (0.373180389404297 × 131072)
    floor (48913.5)     		tx = 48913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619754791259766 × 217)
    floor (0.619754791259766 × 131072)
    floor (81232.5)     		ty = 81232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48913 / 81232 ti = "17/48913/81232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48913/81232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48913 ÷ 217
    48913 ÷ 131072     		x = 0.373176574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81232 ÷ 217
    81232 ÷ 131072     		y = 0.6197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373176574707031 × 2 - 1) × π
    -0.253646850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.79685508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.752417576436401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79685508} λ = -0.79685508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752417576436401))-π/2
    2×atan(0.471225949796702)-π/2
    2×0.440364549401514-π/2
    0.880729098803028-1.57079632675     		φ = -0.69006723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79685508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.656433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69006723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.537940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48913 KachelY 81232 -0.79685508 -0.69006723 -45.656433 -39.537940
    Oben rechts KachelX + 1 48914 KachelY 81232 -0.79680715 -0.69006723 -45.653687 -39.537940
    Unten links KachelX 48913 KachelY + 1 81233 -0.79685508 -0.69010420 -45.656433 -39.540058
    Unten rechts KachelX + 1 48914 KachelY + 1 81233 -0.79680715 -0.69010420 -45.653687 -39.540058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69006723--0.69010420) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dl = 235.535869999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69006723--0.69010420) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dr = 235.535869999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79685508--0.79680715) × cos(-0.69006723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771203218859411 × 6371000     		do = 235.496180453588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79685508--0.79680715) × cos(-0.69010420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771179683635883 × 6371000     		du = 235.488993689955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69006723)-sin(-0.69010420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771203218859411-0.771179683635883)×R²
    abs(-0.79680715--0.79685508)×2.35352235277153e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35352235277153e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35352235277153e-05×40589641000000     		ar = 55466.9513807971m²