Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48912 / 81200
↖ ↑ ↗
← S 39.470125°
W 45.659180°		 ← 235.78 m → S 39.470125°
W 45.656433°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 39.472245°
W 45.659180°		 ← 235.77 m →
55 578 m²		 S 39.472245°
W 45.656433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373172760009766 y=0.619510650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373172760009766 × 217)
    floor (0.373172760009766 × 131072)
    floor (48912.5)     		tx = 48912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619510650634766 × 217)
    floor (0.619510650634766 × 131072)
    floor (81200.5)     		ty = 81200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48912 / 81200 ti = "17/48912/81200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48912/81200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48912 ÷ 217
    48912 ÷ 131072     		x = 0.3731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81200 ÷ 217
    81200 ÷ 131072     		y = 0.6195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79690302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.75088359564856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79690302} λ = -0.79690302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75088359564856))-π/2
    2×atan(0.47194935605422)-π/2
    2×0.440956343626092-π/2
    0.881912687252184-1.57079632675     		φ = -0.68888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79690302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.470125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48912 KachelY 81200 -0.79690302 -0.68888364 -45.659180 -39.470125
    Oben rechts KachelX + 1 48913 KachelY 81200 -0.79685508 -0.68888364 -45.656433 -39.470125
    Unten links KachelX 48912 KachelY + 1 81201 -0.79690302 -0.68892064 -45.659180 -39.472245
    Unten rechts KachelX + 1 48913 KachelY + 1 81201 -0.79685508 -0.68892064 -45.656433 -39.472245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68888364--0.68892064) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dl = 235.726999999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68888364--0.68892064) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dr = 235.726999999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79690302--0.79685508) × cos(-0.68888364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771956138911908 × 6371000     		do = 235.775274974558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79690302--0.79685508) × cos(-0.68892064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771932618379 × 6371000     		du = 235.768091198389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68888364)-sin(-0.68892064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771956138911908-0.771932618379)×R²
    abs(-0.79685508--0.79690302)×2.35205329081056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35205329081056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35205329081056e-05×40589641000000     		ar = 55577.7515451117m²