Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48910 / 81230
↖ ↑ ↗
← S 39.533703°
W 45.664673°		 ← 235.51 m → S 39.533703°
W 45.661926°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
S 39.535822°
W 45.664673°		 ← 235.50 m →
55 470 m²		 S 39.535822°
W 45.661926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373157501220703 y=0.619739532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373157501220703 × 217)
    floor (0.373157501220703 × 131072)
    floor (48910.5)     		tx = 48910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619739532470703 × 217)
    floor (0.619739532470703 × 131072)
    floor (81230.5)     		ty = 81230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48910 / 81230 ti = "17/48910/81230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48910/81230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48910 ÷ 217
    48910 ÷ 131072     		x = 0.373153686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81230 ÷ 217
    81230 ÷ 131072     		y = 0.619735717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373153686523438 × 2 - 1) × π
    -0.253692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79699889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619735717773438 × 2 - 1) × π
    -0.239471435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.752321702637161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79699889} λ = -0.79699889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752321702637161))-π/2
    2×atan(0.471271130184583)-π/2
    2×0.440401519621006-π/2
    0.880803039242013-1.57079632675     		φ = -0.68999329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79699889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.664673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68999329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.533703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48910 KachelY 81230 -0.79699889 -0.68999329 -45.664673 -39.533703
    Oben rechts KachelX + 1 48911 KachelY 81230 -0.79695096 -0.68999329 -45.661926 -39.533703
    Unten links KachelX 48910 KachelY + 1 81231 -0.79699889 -0.69003026 -45.664673 -39.535822
    Unten rechts KachelX + 1 48911 KachelY + 1 81231 -0.79695096 -0.69003026 -45.661926 -39.535822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68999329--0.69003026) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dl = 235.53587000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68999329--0.69003026) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dr = 235.53587000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79699889--0.79695096) × cos(-0.68999329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771250286144237 × 6371000     		do = 235.510553015229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79699889--0.79695096) × cos(-0.69003026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771226753028873 × 6371000     		du = 235.503366895349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68999329)-sin(-0.69003026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771250286144237-0.771226753028873)×R²
    abs(-0.79695096--0.79699889)×2.35331153639606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35331153639606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35331153639606e-05×40589641000000     		ar = 55470.3367104323m²