Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48908 / 51148
↖ ↑ ↗
← S 70.517570°
E 88.659668°		 ← 203.71 m → S 70.517570°
E 88.665161°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 70.519402°
E 88.659668°		 ← 203.69 m →
41 503 m²		 S 70.519402°
E 88.665161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746284484863281 y=0.780464172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746284484863281 × 216)
    floor (0.746284484863281 × 65536)
    floor (48908.5)     		tx = 48908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780464172363281 × 216)
    floor (0.780464172363281 × 65536)
    floor (51148.5)     		ty = 51148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48908 / 51148 ti = "16/48908/51148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48908/51148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48908 ÷ 216
    48908 ÷ 65536     		x = 0.74627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51148 ÷ 216
    51148 ÷ 65536     		y = 0.78045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    0.4925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54740312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.5609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76216043003326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54740312} λ = 1.54740312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76216043003326))-π/2
    2×atan(0.171673574149274)-π/2
    2×0.170016272447352-π/2
    0.340032544894705-1.57079632675     		φ = -1.23076378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54740312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23076378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.517570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48908 KachelY 51148 1.54740312 -1.23076378 88.659668 -70.517570
    Oben rechts KachelX + 1 48909 KachelY 51148 1.54749899 -1.23076378 88.665161 -70.517570
    Unten links KachelX 48908 KachelY + 1 51149 1.54740312 -1.23079576 88.659668 -70.519402
    Unten rechts KachelX + 1 48909 KachelY + 1 51149 1.54749899 -1.23079576 88.665161 -70.519402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23076378--1.23079576) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23076378--1.23079576) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54740312-1.54749899) × cos(-1.23076378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333517775606915 × 6371000     		do = 203.708578418304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54740312-1.54749899) × cos(-1.23079576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333487626489294 × 6371000     		du = 203.690163705984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23076378)-sin(-1.23079576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333517775606915-0.333487626489294)×R²
    abs(1.54749899-1.54740312)×3.01491176212809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01491176212809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01491176212809e-05×40589641000000     		ar = 41502.6428067335m²