Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48907 / 51149
↖ ↑ ↗
← S 70.519402°
E 88.654175°		 ← 203.69 m → S 70.519402°
E 88.659668°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
S 70.521234°
E 88.654175°		 ← 203.67 m →
41 486 m²		 S 70.521234°
E 88.659668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746269226074219 y=0.780479431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746269226074219 × 216)
    floor (0.746269226074219 × 65536)
    floor (48907.5)     		tx = 48907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780479431152344 × 216)
    floor (0.780479431152344 × 65536)
    floor (51149.5)     		ty = 51149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48907 / 51149 ti = "16/48907/51149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48907/51149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48907 ÷ 216
    48907 ÷ 65536     		x = 0.746261596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51149 ÷ 216
    51149 ÷ 65536     		y = 0.780471801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746261596679688 × 2 - 1) × π
    0.492523193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54730725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780471801757812 × 2 - 1) × π
    -0.560943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7622563038325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54730725} λ = 1.54730725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7622563038325))-π/2
    2×atan(0.17165711594046)-π/2
    2×0.170000285361813-π/2
    0.340000570723626-1.57079632675     		φ = -1.23079576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54730725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.654175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23079576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.519402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48907 KachelY 51149 1.54730725 -1.23079576 88.654175 -70.519402
    Oben rechts KachelX + 1 48908 KachelY 51149 1.54740312 -1.23079576 88.659668 -70.519402
    Unten links KachelX 48907 KachelY + 1 51150 1.54730725 -1.23082773 88.654175 -70.521234
    Unten rechts KachelX + 1 48908 KachelY + 1 51150 1.54740312 -1.23082773 88.659668 -70.521234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23079576--1.23082773) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23079576--1.23082773) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54730725-1.54740312) × cos(-1.23079576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333487626489294 × 6371000     		do = 203.690163705984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54730725-1.54740312) × cos(-1.23082773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33345748645826 × 6371000     		du = 203.671754543641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23079576)-sin(-1.23082773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333487626489294-0.33345748645826)×R²
    abs(1.54740312-1.54730725)×3.01400310345201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01400310345201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01400310345201e-05×40589641000000     		ar = 41485.9149604994m²