Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48906 / 81885
↖ ↑ ↗
← S 40.907285°
W 45.675659°		 ← 230.83 m → S 40.907285°
W 45.672912°		 →
↑
230.82 m
↓
↑
230.82 m
↓
S 40.909361°
W 45.675659°		 ← 230.82 m →
53 280 m²		 S 40.909361°
W 45.672912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373126983642578 y=0.624736785888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373126983642578 × 217)
    floor (0.373126983642578 × 131072)
    floor (48906.5)     		tx = 48906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624736785888672 × 217)
    floor (0.624736785888672 × 131072)
    floor (81885.5)     		ty = 81885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48906 / 81885 ti = "17/48906/81885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48906/81885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48906 ÷ 217
    48906 ÷ 131072     		x = 0.373123168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81885 ÷ 217
    81885 ÷ 131072     		y = 0.624732971191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373123168945312 × 2 - 1) × π
    -0.253753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79719064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624732971191406 × 2 - 1) × π
    -0.249465942382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.783720371888298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79719064} λ = -0.79719064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783720371888298))-π/2
    2×atan(0.456703738973853)-π/2
    2×0.428414753263213-π/2
    0.856829506526426-1.57079632675     		φ = -0.71396682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79719064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.675659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71396682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.907285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48906 KachelY 81885 -0.79719064 -0.71396682 -45.675659 -40.907285
    Oben rechts KachelX + 1 48907 KachelY 81885 -0.79714270 -0.71396682 -45.672912 -40.907285
    Unten links KachelX 48906 KachelY + 1 81886 -0.79719064 -0.71400305 -45.675659 -40.909361
    Unten rechts KachelX + 1 48907 KachelY + 1 81886 -0.79714270 -0.71400305 -45.672912 -40.909361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71396682--0.71400305) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dl = 230.821329999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71396682--0.71400305) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dr = 230.821329999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79719064--0.79714270) × cos(-0.71396682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755770208877401 × 6371000     		do = 230.831675316183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79719064--0.79714270) × cos(-0.71400305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755746483639789 × 6371000     		du = 230.824429017929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71396682)-sin(-0.71400305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755770208877401-0.755746483639789)×R²
    abs(-0.79714270--0.79719064)×2.3725237611627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3725237611627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3725237611627e-05×40589641000000     		ar = 53280.038008195m²