Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48905 / 51174
↖ ↑ ↗
← S 70.565148°
E 88.643189°		 ← 203.23 m → S 70.565148°
E 88.648682°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
S 70.566976°
E 88.643189°		 ← 203.21 m →
41 302 m²		 S 70.566976°
E 88.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746238708496094 y=0.780860900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746238708496094 × 216)
    floor (0.746238708496094 × 65536)
    floor (48905.5)     		tx = 48905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780860900878906 × 216)
    floor (0.780860900878906 × 65536)
    floor (51174.5)     		ty = 51174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48905 / 51174 ti = "16/48905/51174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48905/51174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48905 ÷ 216
    48905 ÷ 65536     		x = 0.746231079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51174 ÷ 216
    51174 ÷ 65536     		y = 0.780853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746231079101562 × 2 - 1) × π
    0.492462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54711550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.56170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76465314881351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54711550} λ = 1.54711550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76465314881351))-π/2
    2×atan(0.171246173123513)-π/2
    2×0.169601077530093-π/2
    0.339202155060186-1.57079632675     		φ = -1.23159417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54711550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.643189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23159417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.565148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48905 KachelY 51174 1.54711550 -1.23159417 88.643189 -70.565148
    Oben rechts KachelX + 1 48906 KachelY 51174 1.54721137 -1.23159417 88.648682 -70.565148
    Unten links KachelX 48905 KachelY + 1 51175 1.54711550 -1.23162607 88.643189 -70.566976
    Unten rechts KachelX + 1 48906 KachelY + 1 51175 1.54721137 -1.23162607 88.648682 -70.566976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23159417--1.23162607) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23159417--1.23162607) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54711550-1.54721137) × cos(-1.23159417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332734815675414 × 6371000     		do = 203.230356067743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54711550-1.54721137) × cos(-1.23162607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332704733154218 × 6371000     		du = 203.211982031705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23159417)-sin(-1.23162607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332734815675414-0.332704733154218)×R²
    abs(1.54721137-1.54711550)×3.00825211957401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00825211957401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00825211957401e-05×40589641000000     		ar = 41301.6339730388m²