Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48904 / 81271
↖ ↑ ↗
← S 39.620499°
W 45.681152°		 ← 235.22 m → S 39.620499°
W 45.678406°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 39.622615°
W 45.681152°		 ← 235.21 m →
55 341 m²		 S 39.622615°
W 45.678406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373111724853516 y=0.620052337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373111724853516 × 217)
    floor (0.373111724853516 × 131072)
    floor (48904.5)     		tx = 48904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620052337646484 × 217)
    floor (0.620052337646484 × 131072)
    floor (81271.5)     		ty = 81271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48904 / 81271 ti = "17/48904/81271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48904/81271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48904 ÷ 217
    48904 ÷ 131072     		x = 0.37310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81271 ÷ 217
    81271 ÷ 131072     		y = 0.620048522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79728651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620048522949219 × 2 - 1) × π
    -0.240097045898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.754287115521584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79728651} λ = -0.79728651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754287115521584))-π/2
    2×atan(0.470345797461558)-π/2
    2×0.43964408117949-π/2
    0.879288162358979-1.57079632675     		φ = -0.69150816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79728651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69150816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.620499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48904 KachelY 81271 -0.79728651 -0.69150816 -45.681152 -39.620499
    Oben rechts KachelX + 1 48905 KachelY 81271 -0.79723858 -0.69150816 -45.678406 -39.620499
    Unten links KachelX 48904 KachelY + 1 81272 -0.79728651 -0.69154509 -45.681152 -39.622615
    Unten rechts KachelX + 1 48905 KachelY + 1 81272 -0.79723858 -0.69154509 -45.678406 -39.622615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69150816--0.69154509) × R
    3.69299999999351e-05 × 6371000     		dl = 235.281029999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69150816--0.69154509) × R
    3.69299999999351e-05 × 6371000     		dr = 235.281029999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79728651--0.79723858) × cos(-0.69150816) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.770285138326965 × 6371000     		do = 235.215833517952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79728651--0.79723858) × cos(-0.69154509) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.770261587554728 × 6371000     		du = 235.208642006334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69150816)-sin(-0.69154509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770285138326965-0.770261587554728)×R²
    abs(-0.79723858--0.79728651)×2.35507722377015e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35507722377015e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35507722377015e-05×40589641000000     		ar = 55340.9775755502m²