Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48900 / 60671
↖ ↑ ↗
← N 13.242619°
W 45.692139°		 ← 297.24 m → N 13.242619°
W 45.689392°		 →
↑
297.27 m
↓
↑
297.27 m
↓
N 13.239945°
W 45.692139°		 ← 297.25 m →
88 362 m²		 N 13.239945°
W 45.689392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373081207275391 y=0.462886810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373081207275391 × 217)
    floor (0.373081207275391 × 131072)
    floor (48900.5)     		tx = 48900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462886810302734 × 217)
    floor (0.462886810302734 × 131072)
    floor (60671.5)     		ty = 60671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48900 / 60671 ti = "17/48900/60671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48900/60671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48900 ÷ 217
    48900 ÷ 131072     		x = 0.373077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60671 ÷ 217
    60671 ÷ 131072     		y = 0.462882995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.25384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79747826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462882995605469 × 2 - 1) × π
    0.0742340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.233213016651573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79747826} λ = -0.79747826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233213016651573))-π/2
    2×atan(1.262650416246)-π/2
    2×0.900961815495274-π/2
    1.80192363099055-1.57079632675     		φ = 0.23112730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79747826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23112730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.242619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48900 KachelY 60671 -0.79747826 0.23112730 -45.692139 13.242619
    Oben rechts KachelX + 1 48901 KachelY 60671 -0.79743033 0.23112730 -45.689392 13.242619
    Unten links KachelX 48900 KachelY + 1 60672 -0.79747826 0.23108064 -45.692139 13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 48901 KachelY + 1 60672 -0.79743033 0.23108064 -45.689392 13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23112730-0.23108064) × R
    4.66600000000039e-05 × 6371000     		dl = 297.270860000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23112730-0.23108064) × R
    4.66600000000039e-05 × 6371000     		dr = 297.270860000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79747826--0.79743033) × cos(0.23112730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973408777327389 × 6371000     		do = 297.242080264691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79747826--0.79743033) × cos(0.23108064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 297.245343845669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23112730)-sin(0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973408777327389-0.973419464906907)×R²
    abs(-0.79743033--0.79747826)×1.06875795182759e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06875795182759e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06875795182759e-05×40589641000000     		ar = 88361.8939282818m²