Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 489 / 617
↖ ↑ ↗
← S 34.597042°
W  8.085937°		 ← 32.179 km → S 34.597042°
W  7.734375°		 →
↑
32.123 km
↓
↑
32.123 km
↓
S 34.885931°
W  8.085937°		 ← 32.067 km →
1 031.89 km²		 S 34.885931°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47802734375 y=0.60302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47802734375 × 210)
    floor (0.47802734375 × 1024)
    floor (489.5)     		tx = 489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60302734375 × 210)
    floor (0.60302734375 × 1024)
    floor (617.5)     		ty = 617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 489 / 617 ti = "10/489/617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/489/617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 489 ÷ 210
    489 ÷ 1024     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 617 ÷ 210
    617 ÷ 1024     		y = 0.6025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    -0.205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644271930893555))-π/2
    2×atan(0.525044671786337)-π/2
    2×0.483482020452084-π/2
    0.966964040904168-1.57079632675     		φ = -0.60383229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60383229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.597042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 489 KachelY 617 -0.14112623 -0.60383229 -8.085937 -34.597042
    Oben rechts KachelX + 1 490 KachelY 617 -0.13499031 -0.60383229 -7.734375 -34.597042
    Unten links KachelX 489 KachelY + 1 618 -0.14112623 -0.60887436 -8.085937 -34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 490 KachelY + 1 618 -0.13499031 -0.60887436 -7.734375 -34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60383229--0.60887436) × R
    0.0050420699999999 × 6371000     		dl = 32123.0279699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60383229--0.60887436) × R
    0.0050420699999999 × 6371000     		dr = 32123.0279699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13499031) × cos(-0.60383229) × R
    0.00613591999999999 × 0.823165685885591 × 6371000     		do = 32179.1488051055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13499031) × cos(-0.60887436) × R
    0.00613591999999999 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 32066.8241596452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60383229)-sin(-0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823165685885591-0.82029234096332)×R²
    abs(-0.13499031--0.14112623)×0.00287334492227154×R²
    0.00613591999999999×0.00287334492227154×6371000²
    0.00613591999999999×0.00287334492227154×40589641000000     		ar = 1031889779.3531m²