Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 489 / 546
↖ ↑ ↗
← N 78.595299°
W137.021484°		 ← 1 932.49 m → N 78.595299°
W136.933594°		 →
↑
1 933.98 m
↓
↑
1 933.98 m
↓
N 78.577907°
W137.021484°		 ← 1 935.40 m →
3 740 208 m²		 N 78.577907°
W136.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1195068359375 y=0.1334228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1195068359375 × 212)
    floor (0.1195068359375 × 4096)
    floor (489.5)     		tx = 489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1334228515625 × 212)
    floor (0.1334228515625 × 4096)
    floor (546.5)     		ty = 546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 489 / 546 ti = "12/489/546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/489/546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 489 ÷ 212
    489 ÷ 4096     		x = 0.119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 546 ÷ 212
    546 ÷ 4096     		y = 0.13330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119384765625 × 2 - 1) × π
    -0.76123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39147605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30403914333838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39147605} λ = -2.39147605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30403914333838))-π/2
    2×atan(10.014551079881)-π/2
    2×1.47127153713725-π/2
    2.94254307427449-1.57079632675     		φ = 1.37174675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39147605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37174675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.595299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 489 KachelY 546 -2.39147605 1.37174675 -137.021484 78.595299
    Oben rechts KachelX + 1 490 KachelY 546 -2.38994207 1.37174675 -136.933594 78.595299
    Unten links KachelX 489 KachelY + 1 547 -2.39147605 1.37144319 -137.021484 78.577907
    Unten rechts KachelX + 1 490 KachelY + 1 547 -2.38994207 1.37144319 -136.933594 78.577907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37174675-1.37144319) × R
    0.000303560000000092 × 6371000     		dl = 1933.98076000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37174675-1.37144319) × R
    0.000303560000000092 × 6371000     		dr = 1933.98076000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39147605--2.38994207) × cos(1.37174675) × R
    0.00153398000000005 × 0.197737763187749 × 6371000     		do = 1932.48850599314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39147605--2.38994207) × cos(1.37144319) × R
    0.00153398000000005 × 0.198035320266714 × 6371000     		du = 1935.39652733266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37174675)-sin(1.37144319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197737763187749-0.198035320266714)×R²
    abs(-2.38994207--2.39147605)×0.000297557078965727×R²
    0.00153398000000005×0.000297557078965727×6371000²
    0.00153398000000005×0.000297557078965727×40589641000000     		ar = 3740207.64689829m²