Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 489 / 204
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
W  8.085937°		 ← 11.549 km → N 72.816073°
W  7.734375°		 →
↑
11.583 km
↓
↑
11.583 km
↓
N 72.711903°
W  8.085937°		 ← 11.617 km →
134.172 km²		 N 72.711903°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47802734375 y=0.19970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47802734375 × 210)
    floor (0.47802734375 × 1024)
    floor (489.5)     		tx = 489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19970703125 × 210)
    floor (0.19970703125 × 1024)
    floor (204.5)     		ty = 204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 489 / 204 ti = "10/489/204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/489/204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 489 ÷ 210
    489 ÷ 1024     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 204 ÷ 210
    204 ÷ 1024     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 489 KachelY 204 -0.14112623 1.27088023 -8.085937 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 490 KachelY 204 -0.13499031 1.27088023 -7.734375 72.816073
    Unten links KachelX 489 KachelY + 1 205 -0.14112623 1.26906211 -8.085937 72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 490 KachelY + 1 205 -0.13499031 1.26906211 -7.734375 72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.26906211) × R
    0.00181812000000003 × 6371000     		dl = 11583.2425200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.26906211) × R
    0.00181812000000003 × 6371000     		dr = 11583.2425200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13499031) × cos(1.27088023) × R
    0.00613591999999999 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 11549.3265686484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13499031) × cos(1.26906211) × R
    0.00613591999999999 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 11617.2086465867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.29717652202554)×R²
    abs(-0.13499031--0.14112623)×0.00173647219769013×R²
    0.00613591999999999×0.00173647219769013×6371000²
    0.00613591999999999×0.00173647219769013×40589641000000     		ar = 134171834.832503m²