Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48898 / 60670
↖ ↑ ↗
← N 13.245293°
W 45.697632°		 ← 297.30 m → N 13.245293°
W 45.694885°		 →
↑
297.33 m
↓
↑
297.33 m
↓
N 13.242619°
W 45.697632°		 ← 297.30 m →
88 398 m²		 N 13.242619°
W 45.694885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373065948486328 y=0.462879180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373065948486328 × 217)
    floor (0.373065948486328 × 131072)
    floor (48898.5)     		tx = 48898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462879180908203 × 217)
    floor (0.462879180908203 × 131072)
    floor (60670.5)     		ty = 60670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48898 / 60670 ti = "17/48898/60670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48898/60670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48898 ÷ 217
    48898 ÷ 131072     		x = 0.373062133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60670 ÷ 217
    60670 ÷ 131072     		y = 0.462875366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373062133789062 × 2 - 1) × π
    -0.253875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79757414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462875366210938 × 2 - 1) × π
    0.074249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.233260953551193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79757414} λ = -0.79757414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233260953551193))-π/2
    2×atan(1.26271094524303)-π/2
    2×0.900985146466566-π/2
    1.80197029293313-1.57079632675     		φ = 0.23117397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79757414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23117397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.245293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48898 KachelY 60670 -0.79757414 0.23117397 -45.697632 13.245293
    Oben rechts KachelX + 1 48899 KachelY 60670 -0.79752620 0.23117397 -45.694885 13.245293
    Unten links KachelX 48898 KachelY + 1 60671 -0.79757414 0.23112730 -45.697632 13.242619
    Unten rechts KachelX + 1 48899 KachelY + 1 60671 -0.79752620 0.23112730 -45.694885 13.242619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23117397-0.23112730) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dl = 297.334569999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23117397-0.23112730) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dr = 297.334569999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79757414--0.79752620) × cos(0.23117397) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.973398085337404 × 6371000     		do = 297.300830529253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79757414--0.79752620) × cos(0.23112730) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.973408777327389 × 6371000     		du = 297.304096138207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23117397)-sin(0.23112730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973398085337404-0.973408777327389)×R²
    abs(-0.79752620--0.79757414)×1.06919899849345e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06919899849345e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06919899849345e-05×40589641000000     		ar = 88398.3001113202m²