Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48896 / 51968
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 88.593750°		 ← 189.11 m → S 71.965388°
E 88.599243°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
S 71.967088°
E 88.593750°		 ← 189.10 m →
35 758 m²		 S 71.967088°
E 88.599243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746101379394531 y=0.792976379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746101379394531 × 216)
    floor (0.746101379394531 × 65536)
    floor (48896.5)     		tx = 48896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792976379394531 × 216)
    floor (0.792976379394531 × 65536)
    floor (51968.5)     		ty = 51968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48896 / 51968 ti = "16/48896/51968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48896/51968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48896 ÷ 216
    48896 ÷ 65536     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51968 ÷ 216
    51968 ÷ 65536     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48896 KachelY 51968 1.54625263 -1.25603296 88.593750 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 48897 KachelY 51968 1.54634851 -1.25603296 88.599243 -71.965388
    Unten links KachelX 48896 KachelY + 1 51969 1.54625263 -1.25606264 88.593750 -71.967088
    Unten rechts KachelX + 1 48897 KachelY + 1 51969 1.54634851 -1.25606264 88.599243 -71.967088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25606264) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dl = 189.091279999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25606264) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dr = 189.091279999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.54634851) × cos(-1.25603296) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 189.114409209599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.54634851) × cos(-1.25606264) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.309563250613013 × 6371000     		du = 189.097169790884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25606264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.309563250613013)×R²
    abs(1.54634851-1.54625263)×2.82219480176038e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.82219480176038e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.82219480176038e-05×40589641000000     		ar = 35758.2557944497m²