Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48893 / 51194
↖ ↑ ↗
← S 70.601671°
E 88.577270°		 ← 202.88 m → S 70.601671°
E 88.582764°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 70.603495°
E 88.577270°		 ← 202.87 m →
41 154 m²		 S 70.603495°
E 88.582764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746055603027344 y=0.781166076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746055603027344 × 216)
    floor (0.746055603027344 × 65536)
    floor (48893.5)     		tx = 48893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781166076660156 × 216)
    floor (0.781166076660156 × 65536)
    floor (51194.5)     		ty = 51194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48893 / 51194 ti = "16/48893/51194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48893/51194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48893 ÷ 216
    48893 ÷ 65536     		x = 0.746047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51194 ÷ 216
    51194 ÷ 65536     		y = 0.781158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746047973632812 × 2 - 1) × π
    0.492095947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54596501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.56231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76657062479831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54596501} λ = 1.54596501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76657062479831))-π/2
    2×atan(0.170918127309555)-π/2
    2×0.169282360286227-π/2
    0.338564720572455-1.57079632675     		φ = -1.23223161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54596501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.577270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23223161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.601671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48893 KachelY 51194 1.54596501 -1.23223161 88.577270 -70.601671
    Oben rechts KachelX + 1 48894 KachelY 51194 1.54606089 -1.23223161 88.582764 -70.601671
    Unten links KachelX 48893 KachelY + 1 51195 1.54596501 -1.23226345 88.577270 -70.603495
    Unten rechts KachelX + 1 48894 KachelY + 1 51195 1.54606089 -1.23226345 88.582764 -70.603495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23223161--1.23226345) × R
    3.18400000001162e-05 × 6371000     		dl = 202.85264000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23223161--1.23226345) × R
    3.18400000001162e-05 × 6371000     		dr = 202.85264000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54596501-1.54606089) × cos(-1.23223161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332133629169466 × 6371000     		do = 202.884318935807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54596501-1.54606089) × cos(-1.23226345) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332103596483323 × 6371000     		du = 202.865973425027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23223161)-sin(-1.23226345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332133629169466-0.332103596483323)×R²
    abs(1.54606089-1.54596501)×3.00326861437661e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00326861437661e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00326861437661e-05×40589641000000     		ar = 41153.7589967878m²