Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4889 / 3625
↖ ↑ ↗
← N 80.101581°
W126.287842°		 ← 209.99 m → N 80.101581°
W126.276856°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
N 80.099692°
W126.287842°		 ← 210.03 m →
44 113 m²		 N 80.099692°
W126.276856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149215698242188 y=0.110641479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149215698242188 × 215)
    floor (0.149215698242188 × 32768)
    floor (4889.5)     		tx = 4889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110641479492188 × 215)
    floor (0.110641479492188 × 32768)
    floor (3625.5)     		ty = 3625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4889 / 3625 ti = "15/4889/3625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4889/3625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4889 ÷ 215
    4889 ÷ 32768     		x = 0.149200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3625 ÷ 215
    3625 ÷ 32768     		y = 0.110626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.70159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20413864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110626220703125 × 2 - 1) × π
    0.77874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44650760900919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20413864} λ = -2.20413864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44650760900919))-π/2
    2×atan(11.5479462696887)-π/2
    2×1.48441632722486-π/2
    2.96883265444971-1.57079632675     		φ = 1.39803633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20413864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.287842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39803633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.101581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4889 KachelY 3625 -2.20413864 1.39803633 -126.287842 80.101581
    Oben rechts KachelX + 1 4890 KachelY 3625 -2.20394690 1.39803633 -126.276856 80.101581
    Unten links KachelX 4889 KachelY + 1 3626 -2.20413864 1.39800336 -126.287842 80.099692
    Unten rechts KachelX + 1 4890 KachelY + 1 3626 -2.20394690 1.39800336 -126.276856 80.099692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39803633-1.39800336) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39803633-1.39800336) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20413864--2.20394690) × cos(1.39803633) × R
    0.000191739999999996 × 0.17190191203137 × 6371000     		do = 209.991171016748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20413864--2.20394690) × cos(1.39800336) × R
    0.000191739999999996 × 0.17193439114885 × 6371000     		du = 210.030846712223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39803633)-sin(1.39800336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17190191203137-0.17193439114885)×R²
    abs(-2.20394690--2.20413864)×3.24791174805827e-05×R²
    0.000191739999999996×3.24791174805827e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.24791174805827e-05×40589641000000     		ar = 44113.2051363763m²