Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48889 / 81192
↖ ↑ ↗
← S 39.453161°
W 45.722351°		 ← 235.83 m → S 39.453161°
W 45.719604°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
S 39.455282°
W 45.722351°		 ← 235.83 m →
55 621 m²		 S 39.455282°
W 45.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372997283935547 y=0.619449615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372997283935547 × 217)
    floor (0.372997283935547 × 131072)
    floor (48889.5)     		tx = 48889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619449615478516 × 217)
    floor (0.619449615478516 × 131072)
    floor (81192.5)     		ty = 81192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48889 / 81192 ti = "17/48889/81192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48889/81192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48889 ÷ 217
    48889 ÷ 131072     		x = 0.372993469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81192 ÷ 217
    81192 ÷ 131072     		y = 0.61944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372993469238281 × 2 - 1) × π
    -0.254013061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.79800557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.2388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.750500100451599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79800557} λ = -0.79800557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750500100451599))-π/2
    2×atan(0.472130381074369)-π/2
    2×0.441104382403365-π/2
    0.88220876480673-1.57079632675     		φ = -0.68858756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79800557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.722351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68858756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.453161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48889 KachelY 81192 -0.79800557 -0.68858756 -45.722351 -39.453161
    Oben rechts KachelX + 1 48890 KachelY 81192 -0.79795763 -0.68858756 -45.719604 -39.453161
    Unten links KachelX 48889 KachelY + 1 81193 -0.79800557 -0.68862458 -45.722351 -39.455282
    Unten rechts KachelX + 1 48890 KachelY + 1 81193 -0.79795763 -0.68862458 -45.719604 -39.455282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68858756--0.68862458) × R
    3.70200000000542e-05 × 6371000     		dl = 235.854420000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68858756--0.68862458) × R
    3.70200000000542e-05 × 6371000     		dr = 235.854420000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79800557--0.79795763) × cos(-0.68858756) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.772144315963161 × 6371000     		do = 235.832749090234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79800557--0.79795763) × cos(-0.68862458) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.772120791178388 × 6371000     		du = 235.825564015436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68858756)-sin(-0.68862458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772144315963161-0.772120791178388)×R²
    abs(-0.79795763--0.79800557)×2.35247847732989e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35247847732989e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35247847732989e-05×40589641000000     		ar = 55621.3489442684m²