Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48888 / 81241
↖ ↑ ↗
← S 39.557000°
W 45.725097°		 ← 235.43 m → S 39.557000°
W 45.722351°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 39.559118°
W 45.725097°		 ← 235.42 m →
55 437 m²		 S 39.559118°
W 45.722351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372989654541016 y=0.619823455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372989654541016 × 217)
    floor (0.372989654541016 × 131072)
    floor (48888.5)     		tx = 48888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619823455810547 × 217)
    floor (0.619823455810547 × 131072)
    floor (81241.5)     		ty = 81241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48888 / 81241 ti = "17/48888/81241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48888/81241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48888 ÷ 217
    48888 ÷ 131072     		x = 0.37298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81241 ÷ 217
    81241 ÷ 131072     		y = 0.619819641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.2540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79805350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619819641113281 × 2 - 1) × π
    -0.239639282226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.752849008532982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79805350} λ = -0.79805350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752849008532982))-π/2
    2×atan(0.471022691646416)-π/2
    2×0.440198211336506-π/2
    0.880396422673011-1.57079632675     		φ = -0.69039990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79805350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.725097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69039990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.557000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48888 KachelY 81241 -0.79805350 -0.69039990 -45.725097 -39.557000
    Oben rechts KachelX + 1 48889 KachelY 81241 -0.79800557 -0.69039990 -45.722351 -39.557000
    Unten links KachelX 48888 KachelY + 1 81242 -0.79805350 -0.69043686 -45.725097 -39.559118
    Unten rechts KachelX + 1 48889 KachelY + 1 81242 -0.79800557 -0.69043686 -45.722351 -39.559118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69039990--0.69043686) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dl = 235.472160000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69039990--0.69043686) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dr = 235.472160000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79805350--0.79800557) × cos(-0.69039990) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.770991402115886 × 6371000     		do = 235.431499662252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79805350--0.79800557) × cos(-0.69043686) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.770967863777664 × 6371000     		du = 235.42431194751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69039990)-sin(-0.69043686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770991402115886-0.770967863777664)×R²
    abs(-0.79800557--0.79805350)×2.35383382218846e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35383382218846e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35383382218846e-05×40589641000000     		ar = 55436.7175106231m²