Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48888 / 50776
↖ ↑ ↗
← S 69.824471°
E 88.549804°		 ← 210.68 m → S 69.824471°
E 88.555298°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 69.826365°
E 88.549804°		 ← 210.66 m →
44 386 m²		 S 69.826365°
E 88.555298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745979309082031 y=0.774787902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745979309082031 × 216)
    floor (0.745979309082031 × 65536)
    floor (48888.5)     		tx = 48888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774787902832031 × 216)
    floor (0.774787902832031 × 65536)
    floor (50776.5)     		ty = 50776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48888 / 50776 ti = "16/48888/50776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48888/50776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48888 ÷ 216
    48888 ÷ 65536     		x = 0.7459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50776 ÷ 216
    50776 ÷ 65536     		y = 0.7747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7459716796875 × 2 - 1) × π
    0.491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54548564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72649537671594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54548564} λ = 1.54548564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72649537671594))-π/2
    2×atan(0.177906815051578)-π/2
    2×0.176064706672074-π/2
    0.352129413344148-1.57079632675     		φ = -1.21866691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54548564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.549804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21866691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.824471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48888 KachelY 50776 1.54548564 -1.21866691 88.549804 -69.824471
    Oben rechts KachelX + 1 48889 KachelY 50776 1.54558152 -1.21866691 88.555298 -69.824471
    Unten links KachelX 48888 KachelY + 1 50777 1.54548564 -1.21869998 88.549804 -69.826365
    Unten rechts KachelX + 1 48889 KachelY + 1 50777 1.54558152 -1.21869998 88.555298 -69.826365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21866691--1.21869998) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21866691--1.21869998) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54548564-1.54558152) × cos(-1.21866691) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344897344554807 × 6371000     		do = 210.681053369235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54548564-1.54558152) × cos(-1.21869998) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344866303527817 × 6371000     		du = 210.662091911958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21866691)-sin(-1.21869998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344897344554807-0.344866303527817)×R²
    abs(1.54558152-1.54548564)×3.10410269900308e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10410269900308e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10410269900308e-05×40589641000000     		ar = 44386.1766520806m²