Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48886 / 81193
↖ ↑ ↗
← S 39.455282°
W 45.730591°		 ← 235.83 m → S 39.455282°
W 45.727844°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
S 39.457403°
W 45.730591°		 ← 235.82 m →
55 605 m²		 S 39.457403°
W 45.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372974395751953 y=0.619457244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372974395751953 × 217)
    floor (0.372974395751953 × 131072)
    floor (48886.5)     		tx = 48886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619457244873047 × 217)
    floor (0.619457244873047 × 131072)
    floor (81193.5)     		ty = 81193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48886 / 81193 ti = "17/48886/81193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48886/81193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48886 ÷ 217
    48886 ÷ 131072     		x = 0.372970581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81193 ÷ 217
    81193 ÷ 131072     		y = 0.619453430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372970581054688 × 2 - 1) × π
    -0.254058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79814938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619453430175781 × 2 - 1) × π
    -0.238906860351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.750548037351219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79814938} λ = -0.79814938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750548037351219))-π/2
    2×atan(0.472107749150141)-π/2
    2×0.441085875582989-π/2
    0.882171751165978-1.57079632675     		φ = -0.68862458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79814938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.730591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68862458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.455282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48886 KachelY 81193 -0.79814938 -0.68862458 -45.730591 -39.455282
    Oben rechts KachelX + 1 48887 KachelY 81193 -0.79810144 -0.68862458 -45.727844 -39.455282
    Unten links KachelX 48886 KachelY + 1 81194 -0.79814938 -0.68866159 -45.730591 -39.457403
    Unten rechts KachelX + 1 48887 KachelY + 1 81194 -0.79810144 -0.68866159 -45.727844 -39.457403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68862458--0.68866159) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dl = 235.790710000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68862458--0.68866159) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dr = 235.790710000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79814938--0.79810144) × cos(-0.68862458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772120791178388 × 6371000     		do = 235.82556401489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79814938--0.79810144) × cos(-0.68866159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772097271690482 × 6371000     		du = 235.818380557892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68862458)-sin(-0.68866159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772120791178388-0.772097271690482)×R²
    abs(-0.79810144--0.79814938)×2.35194879059097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35194879059097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35194879059097e-05×40589641000000     		ar = 55604.6302854935m²