Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48883 / 50635
↖ ↑ ↗
← S 69.555634°
E 88.522339°		 ← 213.37 m → S 69.555634°
E 88.527832°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 69.557553°
E 88.522339°		 ← 213.35 m →
45 523 m²		 S 69.557553°
E 88.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745903015136719 y=0.772636413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745903015136719 × 216)
    floor (0.745903015136719 × 65536)
    floor (48883.5)     		tx = 48883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772636413574219 × 216)
    floor (0.772636413574219 × 65536)
    floor (50635.5)     		ty = 50635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48883 / 50635 ti = "16/48883/50635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48883/50635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48883 ÷ 216
    48883 ÷ 65536     		x = 0.745895385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50635 ÷ 216
    50635 ÷ 65536     		y = 0.772628784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745895385742188 × 2 - 1) × π
    0.491790771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54500627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772628784179688 × 2 - 1) × π
    -0.545257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71297717102309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54500627} λ = 1.54500627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71297717102309))-π/2
    2×atan(0.180328124981664)-π/2
    2×0.178410747413697-π/2
    0.356821494827395-1.57079632675     		φ = -1.21397483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54500627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.522339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21397483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.555634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48883 KachelY 50635 1.54500627 -1.21397483 88.522339 -69.555634
    Oben rechts KachelX + 1 48884 KachelY 50635 1.54510215 -1.21397483 88.527832 -69.555634
    Unten links KachelX 48883 KachelY + 1 50636 1.54500627 -1.21400832 88.522339 -69.557553
    Unten rechts KachelX + 1 48884 KachelY + 1 50636 1.54510215 -1.21400832 88.527832 -69.557553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21397483--1.21400832) × R
    3.34900000000804e-05 × 6371000     		dl = 213.364790000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21397483--1.21400832) × R
    3.34900000000804e-05 × 6371000     		dr = 213.364790000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54500627-1.54510215) × cos(-1.21397483) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349297707739191 × 6371000     		do = 213.369021732952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54500627-1.54510215) × cos(-1.21400832) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349266327018167 × 6371000     		du = 213.349852773071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21397483)-sin(-1.21400832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349297707739191-0.349266327018167)×R²
    abs(1.54510215-1.54500627)×3.1380721023655e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1380721023655e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1380721023655e-05×40589641000000     		ar = 45523.3915284312m²