Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48881 / 81233
↖ ↑ ↗
← S 39.540058°
W 45.744324°		 ← 235.49 m → S 39.540058°
W 45.741577°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 39.542176°
W 45.744324°		 ← 235.48 m →
55 450 m²		 S 39.542176°
W 45.741577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372936248779297 y=0.619762420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372936248779297 × 217)
    floor (0.372936248779297 × 131072)
    floor (48881.5)     		tx = 48881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619762420654297 × 217)
    floor (0.619762420654297 × 131072)
    floor (81233.5)     		ty = 81233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48881 / 81233 ti = "17/48881/81233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48881/81233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48881 ÷ 217
    48881 ÷ 131072     		x = 0.372932434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81233 ÷ 217
    81233 ÷ 131072     		y = 0.619758605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372932434082031 × 2 - 1) × π
    -0.254135131835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.79838906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619758605957031 × 2 - 1) × π
    -0.239517211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.752465513336021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79838906} λ = -0.79838906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752465513336021))-π/2
    2×atan(0.471203361227066)-π/2
    2×0.440346065137878-π/2
    0.880692130275757-1.57079632675     		φ = -0.69010420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79838906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.744324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69010420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.540058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48881 KachelY 81233 -0.79838906 -0.69010420 -45.744324 -39.540058
    Oben rechts KachelX + 1 48882 KachelY 81233 -0.79834113 -0.69010420 -45.741577 -39.540058
    Unten links KachelX 48881 KachelY + 1 81234 -0.79838906 -0.69014116 -45.744324 -39.542176
    Unten rechts KachelX + 1 48882 KachelY + 1 81234 -0.79834113 -0.69014116 -45.741577 -39.542176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69010420--0.69014116) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dl = 235.472160000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69010420--0.69014116) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dr = 235.472160000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79838906--0.79834113) × cos(-0.69010420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771179683635883 × 6371000     		do = 235.488993689955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79838906--0.79834113) × cos(-0.69014116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771156153724782 × 6371000     		du = 235.481808548536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69010420)-sin(-0.69014116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771179683635883-0.771156153724782)×R²
    abs(-0.79834113--0.79838906)×2.35299111009946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35299111009946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35299111009946e-05×40589641000000     		ar = 55450.2560564178m²