Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48875 / 81802
↖ ↑ ↗
← S 40.734771°
W 45.760803°		 ← 231.38 m → S 40.734771°
W 45.758057°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 40.736852°
W 45.760803°		 ← 231.38 m →
53 555 m²		 S 40.736852°
W 45.758057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372890472412109 y=0.624103546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372890472412109 × 217)
    floor (0.372890472412109 × 131072)
    floor (48875.5)     		tx = 48875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624103546142578 × 217)
    floor (0.624103546142578 × 131072)
    floor (81802.5)     		ty = 81802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48875 / 81802 ti = "17/48875/81802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48875/81802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48875 ÷ 217
    48875 ÷ 131072     		x = 0.372886657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81802 ÷ 217
    81802 ÷ 131072     		y = 0.624099731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372886657714844 × 2 - 1) × π
    -0.254226684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.79867668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.248199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.779741609219833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79867668} λ = -0.79867668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779741609219833))-π/2
    2×atan(0.458524474496357)-π/2
    2×0.429920226498066-π/2
    0.859840452996132-1.57079632675     		φ = -0.71095587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79867668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.760803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71095587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.734771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48875 KachelY 81802 -0.79867668 -0.71095587 -45.760803 -40.734771
    Oben rechts KachelX + 1 48876 KachelY 81802 -0.79862875 -0.71095587 -45.758057 -40.734771
    Unten links KachelX 48875 KachelY + 1 81803 -0.79867668 -0.71099220 -45.760803 -40.736852
    Unten rechts KachelX + 1 48876 KachelY + 1 81803 -0.79862875 -0.71099220 -45.758057 -40.736852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71095587--0.71099220) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dl = 231.458429999476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71095587--0.71099220) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dr = 231.458429999476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79867668--0.79862875) × cos(-0.71095587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757738461285843 × 6371000     		do = 231.384554747463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79867668--0.79862875) × cos(-0.71099220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757714753340263 × 6371000     		du = 231.377315241074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71095587)-sin(-0.71099220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757738461285843-0.757714753340263)×R²
    abs(-0.79862875--0.79867668)×2.37079455798206e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37079455798206e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37079455798206e-05×40589641000000     		ar = 53555.0679516368m²