Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48868 / 81282
↖ ↑ ↗
← S 39.643767°
W 45.780029°		 ← 235.14 m → S 39.643767°
W 45.777283°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
S 39.645882°
W 45.780029°		 ← 235.13 m →
55 292 m²		 S 39.645882°
W 45.777283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372837066650391 y=0.620136260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372837066650391 × 217)
    floor (0.372837066650391 × 131072)
    floor (48868.5)     		tx = 48868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620136260986328 × 217)
    floor (0.620136260986328 × 131072)
    floor (81282.5)     		ty = 81282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48868 / 81282 ti = "17/48868/81282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48868/81282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48868 ÷ 217
    48868 ÷ 131072     		x = 0.372833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81282 ÷ 217
    81282 ÷ 131072     		y = 0.620132446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.25433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79901224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.240264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.754814421417404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79901224} λ = -0.79901224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754814421417404))-π/2
    2×atan(0.47009784672817)-π/2
    2×0.439441027379997-π/2
    0.878882054759994-1.57079632675     		φ = -0.69191427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79901224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.780029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69191427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.643767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48868 KachelY 81282 -0.79901224 -0.69191427 -45.780029 -39.643767
    Oben rechts KachelX + 1 48869 KachelY 81282 -0.79896431 -0.69191427 -45.777283 -39.643767
    Unten links KachelX 48868 KachelY + 1 81283 -0.79901224 -0.69195118 -45.780029 -39.645882
    Unten rechts KachelX + 1 48869 KachelY + 1 81283 -0.79896431 -0.69195118 -45.777283 -39.645882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69191427--0.69195118) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69191427--0.69195118) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79901224--0.79896431) × cos(-0.69191427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770026098621537 × 6371000     		do = 235.136732628197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79901224--0.79896431) × cos(-0.69195118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770002549059774 × 6371000     		du = 235.129541486211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69191427)-sin(-0.69195118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770026098621537-0.770002549059774)×R²
    abs(-0.79896431--0.79901224)×2.35495617633141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35495617633141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35495617633141e-05×40589641000000     		ar = 55292.4060158813m²