Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48867 / 50651
↖ ↑ ↗
← S 69.586312°
E 88.434448°		 ← 213.06 m → S 69.586312°
E 88.439942°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
S 69.588228°
E 88.434448°		 ← 213.04 m →
45 390 m²		 S 69.588228°
E 88.439942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745658874511719 y=0.772880554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745658874511719 × 216)
    floor (0.745658874511719 × 65536)
    floor (48867.5)     		tx = 48867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772880554199219 × 216)
    floor (0.772880554199219 × 65536)
    floor (50651.5)     		ty = 50651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48867 / 50651 ti = "16/48867/50651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48867/50651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48867 ÷ 216
    48867 ÷ 65536     		x = 0.745651245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50651 ÷ 216
    50651 ÷ 65536     		y = 0.772872924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745651245117188 × 2 - 1) × π
    0.491302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54347229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772872924804688 × 2 - 1) × π
    -0.545745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71451115181093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54347229} λ = 1.54347229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71451115181093))-π/2
    2×atan(0.180051717158781)-π/2
    2×0.178143031889093-π/2
    0.356286063778185-1.57079632675     		φ = -1.21451026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54347229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21451026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.586312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48867 KachelY 50651 1.54347229 -1.21451026 88.434448 -69.586312
    Oben rechts KachelX + 1 48868 KachelY 50651 1.54356817 -1.21451026 88.439942 -69.586312
    Unten links KachelX 48867 KachelY + 1 50652 1.54347229 -1.21454370 88.434448 -69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 48868 KachelY + 1 50652 1.54356817 -1.21454370 88.439942 -69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21451026--1.21454370) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dl = 213.046239999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21451026--1.21454370) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dr = 213.046239999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54347229-1.54356817) × cos(-1.21451026) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348795953466397 × 6371000     		do = 213.06252439282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54347229-1.54356817) × cos(-1.21454370) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 213.043380234638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21451026)-sin(-1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348795953466397-0.348764613347221)×R²
    abs(1.54356817-1.54347229)×3.13401191751606e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13401191751606e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13401191751606e-05×40589641000000     		ar = 45390.1304155415m²