Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48866 / 81246
↖ ↑ ↗
← S 39.567588°
W 45.785523°		 ← 235.44 m → S 39.567588°
W 45.782776°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 39.569705°
W 45.785523°		 ← 235.44 m →
55 440 m²		 S 39.569705°
W 45.782776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372821807861328 y=0.619861602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372821807861328 × 217)
    floor (0.372821807861328 × 131072)
    floor (48866.5)     		tx = 48866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619861602783203 × 217)
    floor (0.619861602783203 × 131072)
    floor (81246.5)     		ty = 81246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48866 / 81246 ti = "17/48866/81246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48866/81246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48866 ÷ 217
    48866 ÷ 131072     		x = 0.372817993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81246 ÷ 217
    81246 ÷ 131072     		y = 0.619857788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372817993164062 × 2 - 1) × π
    -0.254364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79910812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619857788085938 × 2 - 1) × π
    -0.239715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.753088693031082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79910812} λ = -0.79910812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753088693031082))-π/2
    2×atan(0.470909808337705)-π/2
    2×0.440105821045217-π/2
    0.880211642090435-1.57079632675     		φ = -0.69058468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79910812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.785523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69058468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.567588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48866 KachelY 81246 -0.79910812 -0.69058468 -45.785523 -39.567588
    Oben rechts KachelX + 1 48867 KachelY 81246 -0.79906018 -0.69058468 -45.782776 -39.567588
    Unten links KachelX 48866 KachelY + 1 81247 -0.79910812 -0.69062164 -45.785523 -39.569705
    Unten rechts KachelX + 1 48867 KachelY + 1 81247 -0.79906018 -0.69062164 -45.782776 -39.569705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69058468--0.69062164) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dl = 235.472160000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69058468--0.69062164) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dr = 235.472160000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79910812--0.79906018) × cos(-0.69058468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770873712633117 × 6371000     		do = 235.444674127363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79910812--0.79906018) × cos(-0.69062164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770850169029916 × 6371000     		du = 235.437483304933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69058468)-sin(-0.69062164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770873712633117-0.770850169029916)×R²
    abs(-0.79906018--0.79910812)×2.3543603201337e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3543603201337e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3543603201337e-05×40589641000000     		ar = 55439.8193643345m²