Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48863 / 51040
↖ ↑ ↗
← S 70.318738°
E 88.412476°		 ← 205.71 m → S 70.318738°
E 88.417969°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 70.320588°
E 88.412476°		 ← 205.69 m →
42 316 m²		 S 70.320588°
E 88.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745597839355469 y=0.778816223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745597839355469 × 216)
    floor (0.745597839355469 × 65536)
    floor (48863.5)     		tx = 48863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778816223144531 × 216)
    floor (0.778816223144531 × 65536)
    floor (51040.5)     		ty = 51040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48863 / 51040 ti = "16/48863/51040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48863/51040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48863 ÷ 216
    48863 ÷ 65536     		x = 0.745590209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51040 ÷ 216
    51040 ÷ 65536     		y = 0.77880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745590209960938 × 2 - 1) × π
    0.491180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54308880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54308880} λ = 1.54308880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75180605971533))-π/2
    2×atan(0.173460380573478)-π/2
    2×0.171751407256281-π/2
    0.343502814512562-1.57079632675     		φ = -1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54308880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48863 KachelY 51040 1.54308880 -1.22729351 88.412476 -70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 48864 KachelY 51040 1.54318467 -1.22729351 88.417969 -70.318738
    Unten links KachelX 48863 KachelY + 1 51041 1.54308880 -1.22732580 88.412476 -70.320588
    Unten rechts KachelX + 1 48864 KachelY + 1 51041 1.54318467 -1.22732580 88.417969 -70.320588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22729351--1.22732580) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22729351--1.22732580) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54308880-1.54318467) × cos(-1.22729351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 205.705586144571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54308880-1.54318467) × cos(-1.22732580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336756932550539 × 6371000     		du = 205.68701586458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22729351)-sin(-1.22732580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.336756932550539)×R²
    abs(1.54318467-1.54308880)×3.04038176661137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04038176661137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04038176661137e-05×40589641000000     		ar = 42315.7587106295m²