Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48863 / 50648
↖ ↑ ↗
← S 69.580564°
E 88.412476°		 ← 213.10 m → S 69.580564°
E 88.417969°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
S 69.582480°
E 88.412476°		 ← 213.08 m →
45 411 m²		 S 69.582480°
E 88.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745597839355469 y=0.772834777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745597839355469 × 216)
    floor (0.745597839355469 × 65536)
    floor (48863.5)     		tx = 48863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772834777832031 × 216)
    floor (0.772834777832031 × 65536)
    floor (50648.5)     		ty = 50648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48863 / 50648 ti = "16/48863/50648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48863/50648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48863 ÷ 216
    48863 ÷ 65536     		x = 0.745590209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50648 ÷ 216
    50648 ÷ 65536     		y = 0.7728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745590209960938 × 2 - 1) × π
    0.491180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54308880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54308880} λ = 1.54308880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71422353041321))-π/2
    2×atan(0.180103511333531)-π/2
    2×0.178193199239641-π/2
    0.356386398479282-1.57079632675     		φ = -1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54308880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48863 KachelY 50648 1.54308880 -1.21440993 88.412476 -69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 48864 KachelY 50648 1.54318467 -1.21440993 88.417969 -69.580564
    Unten links KachelX 48863 KachelY + 1 50649 1.54308880 -1.21444338 88.412476 -69.582480
    Unten rechts KachelX + 1 48864 KachelY + 1 50649 1.54318467 -1.21444338 88.417969 -69.582480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21440993--1.21444338) × R
    3.34500000001015e-05 × 6371000     		dl = 213.109950000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21440993--1.21444338) × R
    3.34500000001015e-05 × 6371000     		dr = 213.109950000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54308880-1.54318467) × cos(-1.21440993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 213.09773338189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54308880-1.54318467) × cos(-1.21444338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348858632534606 × 6371000     		du = 213.078586211057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21440993)-sin(-1.21444338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348858632534606)×R²
    abs(1.54318467-1.54308880)×3.13483206010323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13483206010323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13483206010323e-05×40589641000000     		ar = 45411.2070843683m²