Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48861 / 50638
↖ ↑ ↗
← S 69.561390°
E 88.401489°		 ← 213.29 m → S 69.561390°
E 88.406982°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 69.563308°
E 88.401489°		 ← 213.27 m →
45 493 m²		 S 69.563308°
E 88.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745567321777344 y=0.772682189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745567321777344 × 216)
    floor (0.745567321777344 × 65536)
    floor (48861.5)     		tx = 48861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772682189941406 × 216)
    floor (0.772682189941406 × 65536)
    floor (50638.5)     		ty = 50638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48861 / 50638 ti = "16/48861/50638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48861/50638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48861 ÷ 216
    48861 ÷ 65536     		x = 0.745559692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50638 ÷ 216
    50638 ÷ 65536     		y = 0.772674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745559692382812 × 2 - 1) × π
    0.491119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54289705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.54534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54289705} λ = 1.54289705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71326479242081))-π/2
    2×atan(0.180276266212512)-π/2
    2×0.178360521434958-π/2
    0.356721042869916-1.57079632675     		φ = -1.21407528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54289705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.401489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21407528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.561390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48861 KachelY 50638 1.54289705 -1.21407528 88.401489 -69.561390
    Oben rechts KachelX + 1 48862 KachelY 50638 1.54299292 -1.21407528 88.406982 -69.561390
    Unten links KachelX 48861 KachelY + 1 50639 1.54289705 -1.21410876 88.401489 -69.563308
    Unten rechts KachelX + 1 48862 KachelY + 1 50639 1.54299292 -1.21410876 88.406982 -69.563308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21407528--1.21410876) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21407528--1.21410876) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54289705-1.54299292) × cos(-1.21407528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349203583141902 × 6371000     		do = 213.289277823247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54289705-1.54299292) × cos(-1.21410876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349172210616614 × 6371000     		du = 213.270115868487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21407528)-sin(-1.21410876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349203583141902-0.349172210616614)×R²
    abs(1.54299292-1.54289705)×3.13725252887864e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13725252887864e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13725252887864e-05×40589641000000     		ar = 45492.7896833372m²