Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48860 / 81284
↖ ↑ ↗
← S 39.647998°
W 45.802002°		 ← 235.17 m → S 39.647998°
W 45.799255°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
S 39.650112°
W 45.802002°		 ← 235.16 m →
55 286 m²		 S 39.650112°
W 45.799255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372776031494141 y=0.620151519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372776031494141 × 217)
    floor (0.372776031494141 × 131072)
    floor (48860.5)     		tx = 48860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620151519775391 × 217)
    floor (0.620151519775391 × 131072)
    floor (81284.5)     		ty = 81284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48860 / 81284 ti = "17/48860/81284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48860/81284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48860 ÷ 217
    48860 ÷ 131072     		x = 0.372772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81284 ÷ 217
    81284 ÷ 131072     		y = 0.620147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.25445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79939574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.24029541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.754910295216644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79939574} λ = -0.79939574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754910295216644))-π/2
    2×atan(0.470052778822039)-π/2
    2×0.439404115845224-π/2
    0.878808231690449-1.57079632675     		φ = -0.69198810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79939574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.802002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69198810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.647998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48860 KachelY 81284 -0.79939574 -0.69198810 -45.802002 -39.647998
    Oben rechts KachelX + 1 48861 KachelY 81284 -0.79934780 -0.69198810 -45.799255 -39.647998
    Unten links KachelX 48860 KachelY + 1 81285 -0.79939574 -0.69202500 -45.802002 -39.650112
    Unten rechts KachelX + 1 48861 KachelY + 1 81285 -0.79934780 -0.69202500 -45.799255 -39.650112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69198810--0.69202500) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69198810--0.69202500) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79939574--0.79934780) × cos(-0.69198810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769978992068307 × 6371000     		do = 235.171403436762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79939574--0.79934780) × cos(-0.69202500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769955446789245 × 6371000     		du = 235.164212102482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69198810)-sin(-0.69202500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769978992068307-0.769955446789245)×R²
    abs(-0.79934780--0.79939574)×2.35452790618984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35452790618984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35452790618984e-05×40589641000000     		ar = 55285.5764180422m²