Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48857 / 51163
↖ ↑ ↗
← S 70.545033°
E 88.379517°		 ← 203.43 m → S 70.545033°
E 88.385010°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
S 70.546862°
E 88.379517°		 ← 203.41 m →
41 382 m²		 S 70.546862°
E 88.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745506286621094 y=0.780693054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745506286621094 × 216)
    floor (0.745506286621094 × 65536)
    floor (48857.5)     		tx = 48857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780693054199219 × 216)
    floor (0.780693054199219 × 65536)
    floor (51163.5)     		ty = 51163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48857 / 51163 ti = "16/48857/51163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48857/51163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48857 ÷ 216
    48857 ÷ 65536     		x = 0.745498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51163 ÷ 216
    51163 ÷ 65536     		y = 0.780685424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745498657226562 × 2 - 1) × π
    0.490997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54251356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780685424804688 × 2 - 1) × π
    -0.561370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76359853702187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54251356} λ = 1.54251356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76359853702187))-π/2
    2×atan(0.171426866620961)-π/2
    2×0.16977661783042-π/2
    0.33955323566084-1.57079632675     		φ = -1.23124309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54251356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.379517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23124309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.545033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48857 KachelY 51163 1.54251356 -1.23124309 88.379517 -70.545033
    Oben rechts KachelX + 1 48858 KachelY 51163 1.54260943 -1.23124309 88.385010 -70.545033
    Unten links KachelX 48857 KachelY + 1 51164 1.54251356 -1.23127502 88.379517 -70.546862
    Unten rechts KachelX + 1 48858 KachelY + 1 51164 1.54260943 -1.23127502 88.385010 -70.546862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23124309--1.23127502) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23124309--1.23127502) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54251356-1.54260943) × cos(-1.23124309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333065870777257 × 6371000     		do = 203.432560475144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54251356-1.54260943) × cos(-1.23127502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333035763696768 × 6371000     		du = 203.414171438592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23124309)-sin(-1.23127502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333065870777257-0.333035763696768)×R²
    abs(1.54260943-1.54251356)×3.01070804884507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01070804884507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01070804884507e-05×40589641000000     		ar = 41381.6077494016m²