Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48856 / 81384
↖ ↑ ↗
← S 39.859155°
W 45.812989°		 ← 234.45 m → S 39.859155°
W 45.810242°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 39.861263°
W 45.812989°		 ← 234.44 m →
54 967 m²		 S 39.861263°
W 45.810242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372745513916016 y=0.620914459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372745513916016 × 217)
    floor (0.372745513916016 × 131072)
    floor (48856.5)     		tx = 48856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620914459228516 × 217)
    floor (0.620914459228516 × 131072)
    floor (81384.5)     		ty = 81384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48856 / 81384 ti = "17/48856/81384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48856/81384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48856 ÷ 217
    48856 ÷ 131072     		x = 0.37274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81384 ÷ 217
    81384 ÷ 131072     		y = 0.62091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.2545166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79958749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.2418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75970398517865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79958749} λ = -0.79958749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75970398517865))-π/2
    2×atan(0.467804883695356)-π/2
    2×0.437561419306196-π/2
    0.875122838612392-1.57079632675     		φ = -0.69567349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79958749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.812989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69567349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.859155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48856 KachelY 81384 -0.79958749 -0.69567349 -45.812989 -39.859155
    Oben rechts KachelX + 1 48857 KachelY 81384 -0.79953955 -0.69567349 -45.810242 -39.859155
    Unten links KachelX 48856 KachelY + 1 81385 -0.79958749 -0.69571029 -45.812989 -39.861263
    Unten rechts KachelX + 1 48857 KachelY + 1 81385 -0.79953955 -0.69571029 -45.810242 -39.861263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69567349--0.69571029) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69567349--0.69571029) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79958749--0.79953955) × cos(-0.69567349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767622234444739 × 6371000     		do = 234.451588995584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79958749--0.79953955) × cos(-0.69571029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767598648710369 × 6371000     		du = 234.444385305211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69567349)-sin(-0.69571029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767622234444739-0.767598648710369)×R²
    abs(-0.79953955--0.79958749)×2.3585734370446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3585734370446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3585734370446e-05×40589641000000     		ar = 54966.9870480479m²