Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48852 / 81372
↖ ↑ ↗
← S 39.833850°
W 45.823974°		 ← 234.49 m → S 39.833850°
W 45.821228°		 →
↑
234.52 m
↓
↑
234.52 m
↓
S 39.835959°
W 45.823974°		 ← 234.48 m →
54 991 m²		 S 39.835959°
W 45.821228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372714996337891 y=0.620822906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372714996337891 × 217)
    floor (0.372714996337891 × 131072)
    floor (48852.5)     		tx = 48852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620822906494141 × 217)
    floor (0.620822906494141 × 131072)
    floor (81372.5)     		ty = 81372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48852 / 81372 ti = "17/48852/81372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48852/81372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48852 ÷ 217
    48852 ÷ 131072     		x = 0.372711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81372 ÷ 217
    81372 ÷ 131072     		y = 0.620819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.25457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79977923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.24163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.759128742383209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79977923} λ = -0.79977923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759128742383209))-π/2
    2×atan(0.468074062498535)-π/2
    2×0.437782244583179-π/2
    0.875564489166357-1.57079632675     		φ = -0.69523184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79977923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.823974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69523184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.833850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48852 KachelY 81372 -0.79977923 -0.69523184 -45.823974 -39.833850
    Oben rechts KachelX + 1 48853 KachelY 81372 -0.79973130 -0.69523184 -45.821228 -39.833850
    Unten links KachelX 48852 KachelY + 1 81373 -0.79977923 -0.69526865 -45.823974 -39.835959
    Unten rechts KachelX + 1 48853 KachelY + 1 81373 -0.79973130 -0.69526865 -45.821228 -39.835959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69523184--0.69526865) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dl = 234.516509999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69523184--0.69526865) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dr = 234.516509999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79977923--0.79973130) × cos(-0.69523184) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767905214191737 × 6371000     		do = 234.489095052774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79977923--0.79973130) × cos(-0.69526865) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767881634529506 × 6371000     		du = 234.481894719249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69523184)-sin(-0.69526865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767905214191737-0.767881634529506)×R²
    abs(-0.79973130--0.79977923)×2.3579662230544e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3579662230544e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3579662230544e-05×40589641000000     		ar = 54990.7199123666m²