Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48850 / 50661
↖ ↑ ↗
← S 69.605464°
E 88.341064°		 ← 212.85 m → S 69.605464°
E 88.346557°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 69.607378°
E 88.341064°		 ← 212.83 m →
45 304 m²		 S 69.607378°
E 88.346557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745399475097656 y=0.773033142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745399475097656 × 216)
    floor (0.745399475097656 × 65536)
    floor (48850.5)     		tx = 48850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773033142089844 × 216)
    floor (0.773033142089844 × 65536)
    floor (50661.5)     		ty = 50661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48850 / 50661 ti = "16/48850/50661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48850/50661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48850 ÷ 216
    48850 ÷ 65536     		x = 0.745391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50661 ÷ 216
    50661 ÷ 65536     		y = 0.773025512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745391845703125 × 2 - 1) × π
    0.49078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54184244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773025512695312 × 2 - 1) × π
    -0.546051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71546988980333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54184244} λ = 1.54184244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71546988980333))-π/2
    2×atan(0.179879177460342)-π/2
    2×0.177975905022798-π/2
    0.355951810045596-1.57079632675     		φ = -1.21484452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54184244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.341064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21484452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.605464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48850 KachelY 50661 1.54184244 -1.21484452 88.341064 -69.605464
    Oben rechts KachelX + 1 48851 KachelY 50661 1.54193831 -1.21484452 88.346557 -69.605464
    Unten links KachelX 48850 KachelY + 1 50662 1.54184244 -1.21487793 88.341064 -69.607378
    Unten rechts KachelX + 1 48851 KachelY + 1 50662 1.54193831 -1.21487793 88.346557 -69.607378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21484452--1.21487793) × R
    3.34100000001225e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21484452--1.21487793) × R
    3.34100000001225e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54184244-1.54193831) × cos(-1.21484452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348482665952971 × 6371000     		do = 212.848950421065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54184244-1.54193831) × cos(-1.21487793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348451350056807 × 6371000     		du = 212.829823054682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21484452)-sin(-1.21487793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348482665952971-0.348451350056807)×R²
    abs(1.54193831-1.54184244)×3.13158961637861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13158961637861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13158961637861e-05×40589641000000     		ar = 45303.9510806636m²