Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48849 / 81297
↖ ↑ ↗
← S 39.675484°
W 45.832214°		 ← 235.03 m → S 39.675484°
W 45.829468°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
S 39.677598°
W 45.832214°		 ← 235.02 m →
55 252 m²		 S 39.677598°
W 45.829468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372692108154297 y=0.620250701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372692108154297 × 217)
    floor (0.372692108154297 × 131072)
    floor (48849.5)     		tx = 48849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620250701904297 × 217)
    floor (0.620250701904297 × 131072)
    floor (81297.5)     		ty = 81297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48849 / 81297 ti = "17/48849/81297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48849/81297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48849 ÷ 217
    48849 ÷ 131072     		x = 0.372688293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81297 ÷ 217
    81297 ÷ 131072     		y = 0.620246887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372688293457031 × 2 - 1) × π
    -0.254623413085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.79992304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620246887207031 × 2 - 1) × π
    -0.240493774414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.755533474911705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79992304} λ = -0.79992304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755533474911705))-π/2
    2×atan(0.469759942728901)-π/2
    2×0.439164245909831-π/2
    0.878328491819662-1.57079632675     		φ = -0.69246783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79992304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.832214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69246783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.675484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48849 KachelY 81297 -0.79992304 -0.69246783 -45.832214 -39.675484
    Oben rechts KachelX + 1 48850 KachelY 81297 -0.79987511 -0.69246783 -45.829468 -39.675484
    Unten links KachelX 48849 KachelY + 1 81298 -0.79992304 -0.69250473 -45.832214 -39.677598
    Unten rechts KachelX + 1 48850 KachelY + 1 81298 -0.79987511 -0.69250473 -45.829468 -39.677598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69246783--0.69250473) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69246783--0.69250473) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79992304--0.79987511) × cos(-0.69246783) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769672802522951 × 6371000     		do = 235.028849414341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79992304--0.79987511) × cos(-0.69250473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769649243616611 × 6371000     		du = 235.021655418877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69246783)-sin(-0.69250473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769672802522951-0.769649243616611)×R²
    abs(-0.79987511--0.79992304)×2.35589063402042e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35589063402042e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35589063402042e-05×40589641000000     		ar = 55252.0630942811m²