Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48849 / 50659
↖ ↑ ↗
← S 69.601635°
E 88.335572°		 ← 212.89 m → S 69.601635°
E 88.341064°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 69.603549°
E 88.335572°		 ← 212.87 m →
45 312 m²		 S 69.603549°
E 88.341064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745384216308594 y=0.773002624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745384216308594 × 216)
    floor (0.745384216308594 × 65536)
    floor (48849.5)     		tx = 48849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773002624511719 × 216)
    floor (0.773002624511719 × 65536)
    floor (50659.5)     		ty = 50659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48849 / 50659 ti = "16/48849/50659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48849/50659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48849 ÷ 216
    48849 ÷ 65536     		x = 0.745376586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50659 ÷ 216
    50659 ÷ 65536     		y = 0.772994995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745376586914062 × 2 - 1) × π
    0.490753173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54174657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772994995117188 × 2 - 1) × π
    -0.545989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71527814220485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54174657} λ = 1.54174657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71527814220485))-π/2
    2×atan(0.179913672167669)-π/2
    2×0.178009318382787-π/2
    0.356018636765574-1.57079632675     		φ = -1.21477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54174657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.335572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.601635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48849 KachelY 50659 1.54174657 -1.21477769 88.335572 -69.601635
    Oben rechts KachelX + 1 48850 KachelY 50659 1.54184244 -1.21477769 88.341064 -69.601635
    Unten links KachelX 48849 KachelY + 1 50660 1.54174657 -1.21481110 88.335572 -69.603549
    Unten rechts KachelX + 1 48850 KachelY + 1 50660 1.54184244 -1.21481110 88.341064 -69.603549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21477769--1.21481110) × R
    3.34099999999005e-05 × 6371000     		dl = 212.855109999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21477769--1.21481110) × R
    3.34099999999005e-05 × 6371000     		dr = 212.855109999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54174657-1.54184244) × cos(-1.21477769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348545305951224 × 6371000     		do = 212.887210165911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54174657-1.54184244) × cos(-1.21481110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348513990833184 × 6371000     		du = 212.868083274796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21477769)-sin(-1.21481110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348545305951224-0.348513990833184)×R²
    abs(1.54184244-1.54174657)×3.13151180398319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13151180398319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13151180398319e-05×40589641000000     		ar = 45312.0949131092m²