Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48846 / 81310
↖ ↑ ↗
← S 39.702960°
W 45.840454°		 ← 234.94 m → S 39.702960°
W 45.837708°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 39.705073°
W 45.840454°		 ← 234.93 m →
55 200 m²		 S 39.705073°
W 45.837708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372669219970703 y=0.620349884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372669219970703 × 217)
    floor (0.372669219970703 × 131072)
    floor (48846.5)     		tx = 48846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620349884033203 × 217)
    floor (0.620349884033203 × 131072)
    floor (81310.5)     		ty = 81310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48846 / 81310 ti = "17/48846/81310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48846/81310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48846 ÷ 217
    48846 ÷ 131072     		x = 0.372665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81310 ÷ 217
    81310 ÷ 131072     		y = 0.620346069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.254669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80006685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620346069335938 × 2 - 1) × π
    -0.240692138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.756156654606766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80006685} λ = -0.80006685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756156654606766))-π/2
    2×atan(0.46946728906842)-π/2
    2×0.438924471390568-π/2
    0.877848942781136-1.57079632675     		φ = -0.69294738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80006685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69294738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.702960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48846 KachelY 81310 -0.80006685 -0.69294738 -45.840454 -39.702960
    Oben rechts KachelX + 1 48847 KachelY 81310 -0.80001892 -0.69294738 -45.837708 -39.702960
    Unten links KachelX 48846 KachelY + 1 81311 -0.80006685 -0.69298426 -45.840454 -39.705073
    Unten rechts KachelX + 1 48847 KachelY + 1 81311 -0.80001892 -0.69298426 -45.837708 -39.705073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69294738--0.69298426) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69294738--0.69298426) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80006685--0.80001892) × cos(-0.69294738) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769366550829804 × 6371000     		do = 234.935331775631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80006685--0.80001892) × cos(-0.69298426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769342991083436 × 6371000     		du = 234.928137523654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69294738)-sin(-0.69298426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769366550829804-0.769342991083436)×R²
    abs(-0.80001892--0.80006685)×2.35597463675852e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35597463675852e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35597463675852e-05×40589641000000     		ar = 55200.143010127m²