Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48846 / 81263
↖ ↑ ↗
← S 39.603572°
W 45.840454°		 ← 235.27 m → S 39.603572°
W 45.837708°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 39.605688°
W 45.840454°		 ← 235.27 m →
55 355 m²		 S 39.605688°
W 45.837708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372669219970703 y=0.619991302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372669219970703 × 217)
    floor (0.372669219970703 × 131072)
    floor (48846.5)     		tx = 48846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619991302490234 × 217)
    floor (0.619991302490234 × 131072)
    floor (81263.5)     		ty = 81263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48846 / 81263 ti = "17/48846/81263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48846/81263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48846 ÷ 217
    48846 ÷ 131072     		x = 0.372665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81263 ÷ 217
    81263 ÷ 131072     		y = 0.619987487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.254669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80006685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619987487792969 × 2 - 1) × π
    -0.239974975585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.753903620324623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80006685} λ = -0.80006685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753903620324623))-π/2
    2×atan(0.470526207406758)-π/2
    2×0.439791799564097-π/2
    0.879583599128195-1.57079632675     		φ = -0.69121273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80006685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69121273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.603572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48846 KachelY 81263 -0.80006685 -0.69121273 -45.840454 -39.603572
    Oben rechts KachelX + 1 48847 KachelY 81263 -0.80001892 -0.69121273 -45.837708 -39.603572
    Unten links KachelX 48846 KachelY + 1 81264 -0.80006685 -0.69124966 -45.840454 -39.605688
    Unten rechts KachelX + 1 48847 KachelY + 1 81264 -0.80001892 -0.69124966 -45.837708 -39.605688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69121273--0.69124966) × R
    3.69299999999351e-05 × 6371000     		dl = 235.281029999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69121273--0.69124966) × R
    3.69299999999351e-05 × 6371000     		dr = 235.281029999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80006685--0.80001892) × cos(-0.69121273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770473500308223 × 6371000     		do = 235.273352115469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80006685--0.80001892) × cos(-0.69124966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770449957940872 × 6371000     		du = 235.266163170383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69121273)-sin(-0.69124966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770473500308223-0.770449957940872)×R²
    abs(-0.80001892--0.80006685)×2.35423673504709e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35423673504709e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35423673504709e-05×40589641000000     		ar = 55354.5109121072m²