Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48846 / 50569
↖ ↑ ↗
← S 69.428621°
E 88.319092°		 ← 214.64 m → S 69.428621°
E 88.324585°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 69.430551°
E 88.319092°		 ← 214.62 m →
46 054 m²		 S 69.430551°
E 88.324585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745338439941406 y=0.771629333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745338439941406 × 216)
    floor (0.745338439941406 × 65536)
    floor (48846.5)     		tx = 48846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771629333496094 × 216)
    floor (0.771629333496094 × 65536)
    floor (50569.5)     		ty = 50569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48846 / 50569 ti = "16/48846/50569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48846/50569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48846 ÷ 216
    48846 ÷ 65536     		x = 0.745330810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50569 ÷ 216
    50569 ÷ 65536     		y = 0.771621704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745330810546875 × 2 - 1) × π
    0.49066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54145894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771621704101562 × 2 - 1) × π
    -0.543243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70664950027324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54145894} λ = 1.54145894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70664950027324))-π/2
    2×atan(0.181472799726596)-π/2
    2×0.179519149616054-π/2
    0.359038299232109-1.57079632675     		φ = -1.21175803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54145894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.319092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21175803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.428621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48846 KachelY 50569 1.54145894 -1.21175803 88.319092 -69.428621
    Oben rechts KachelX + 1 48847 KachelY 50569 1.54155482 -1.21175803 88.324585 -69.428621
    Unten links KachelX 48846 KachelY + 1 50570 1.54145894 -1.21179171 88.319092 -69.430551
    Unten rechts KachelX + 1 48847 KachelY + 1 50570 1.54155482 -1.21179171 88.324585 -69.430551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21175803--1.21179171) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21175803--1.21179171) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54145894-1.54155482) × cos(-1.21175803) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351374015534392 × 6371000     		do = 214.637337422585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54145894-1.54155482) × cos(-1.21179171) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351342482934445 × 6371000     		du = 214.61807568724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21175803)-sin(-1.21179171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351374015534392-0.351342482934445)×R²
    abs(1.54155482-1.54145894)×3.15325999467597e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15325999467597e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15325999467597e-05×40589641000000     		ar = 46053.8002342123m²