Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48844 / 50573
↖ ↑ ↗
← S 69.436340°
E 88.308106°		 ← 214.54 m → S 69.436340°
E 88.313599°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 69.438270°
E 88.308106°		 ← 214.52 m →
46 032 m²		 S 69.438270°
E 88.313599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745307922363281 y=0.771690368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745307922363281 × 216)
    floor (0.745307922363281 × 65536)
    floor (48844.5)     		tx = 48844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771690368652344 × 216)
    floor (0.771690368652344 × 65536)
    floor (50573.5)     		ty = 50573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48844 / 50573 ti = "16/48844/50573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48844/50573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48844 ÷ 216
    48844 ÷ 65536     		x = 0.74530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50573 ÷ 216
    50573 ÷ 65536     		y = 0.771682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74530029296875 × 2 - 1) × π
    0.4906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54126720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771682739257812 × 2 - 1) × π
    -0.543365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7070329954702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54126720} λ = 1.54126720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7070329954702))-π/2
    2×atan(0.181403219122288)-π/2
    2×0.179451786585965-π/2
    0.358903573171931-1.57079632675     		φ = -1.21189275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54126720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.308106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21189275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.436340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48844 KachelY 50573 1.54126720 -1.21189275 88.308106 -69.436340
    Oben rechts KachelX + 1 48845 KachelY 50573 1.54136307 -1.21189275 88.313599 -69.436340
    Unten links KachelX 48844 KachelY + 1 50574 1.54126720 -1.21192643 88.308106 -69.438270
    Unten rechts KachelX + 1 48845 KachelY + 1 50574 1.54136307 -1.21192643 88.313599 -69.438270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21189275--1.21192643) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21189275--1.21192643) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54126720-1.54136307) × cos(-1.21189275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351247882743492 × 6371000     		do = 214.537911018114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54126720-1.54136307) × cos(-1.21192643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351216348549589 × 6371000     		du = 214.518650318142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21189275)-sin(-1.21192643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351247882743492-0.351216348549589)×R²
    abs(1.54136307-1.54126720)×3.1534193902838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1534193902838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1534193902838e-05×40589641000000     		ar = 46032.4658966648m²